grupy grupy: Dana jest podgrupa H={id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)} grupy S₄. Udowodnic, ze H jest dzielnikiem normalnym w S₄ (wskazowka: dla σ ∈ S₄ opisac σ(1, 2)(3, 4)σ⁻¹ i nastepnie skorzystac z odpowiedniego kryterium na dzielnik normalny). Kryterium na dzielnik normalny: H<G H dzielnik normalny G, gdy ∀g∊G ∀h∊H ghg⁻¹∊H. Ale |S₄|=4!=24 elementy. To mam sprawdzac wszystkie te permutacje σ z S₄ skoro maja byc dla kazdego elementu?

grupy: ?

jc: przekształcenie h → g h g¹ zachowuje strukturę rozkładu h na rozłączne cykle. H składa się ze wszystkich permutacji będących iloczynem 2 rozłącznych 2 elementowych cykli oraz identyczności. Obrazem H będzie H, a więc H jest dzielnikiem normalnym.

grupy: Nie za bardzo rozumiem.

jc: Chodzi o to, że przekształcenie h →ghg⁻¹ zmienia tylko nazwy elementów.

	1 2 3 4 a b c d
g=

	1 2 3 4 1 3 2 4		a b c d a c b d
g		g−1 =

czy jakoś podobnie. Zatem (1,2)(3,4) przejdzie na (a,b)(c,d), a ponieważ w H są wszystkie permutacje będące iloczynem 2 rozłącznych cykli o długości 2, więc (a,b)(c,d) też wśród nich będzie. Oczywiście id przejdzie na id.

grupy: Co to znaczy opisac σ(1, 2)(3, 4)σ⁻¹?

jc: Lepiej by było użyć innego słowa. No, ale już wiesz, że

1 2 3 4 a b c d		1 2 3 4 a b c d
	(1,2)(3,4)		−1=(a,b)(c,d)

(oczywiście, a,b,c,d muszą tworzyć zbiór {1,2,3,4}).

grupy: Teraz chyba rozumiem. Czyli ustalam postac permutacji z S₄, co swiadczy o jej dowolnosci. Natomiast postac (a,b)(c,d)∊H.

grupy: Jeszcze zapytam o te permutacje. W H są wszystkie permutacje będące iloczynem 2 rozłącznych cykli o długości 2. Ale skad mam wiedziec, ze sa to wszystkie? Czy istnieje wzor na liczbe permutacji bedacych iloczynem 2 rozlacznych cykli o dlugosci 2 w S_n?

jc: Jak możesz podzielić zbiór {1,2,3,4} na dwa podzbiory po 2 elementy w każdym?

grupy:

	4 2
Zbior {1,2,3,4} moge podzielic na dwuelementowe podzbiory na		=6 sposobow.

grupy: Czyli (1,2), (3,4), (1,3), (2,4), (1,4), (2,3). Jest ich 6 i wszystkie one sa w H.

grupy: Czy dobrze? O to chodzilo?

jc: Podzielić na pary, a nie wybrać jedną parę. (1,2), (3,4) (1,3), (2,4) (1,4), (2,4)

grupy: Czyli ile ich jest? Bo juz sie pogubilem. Ktory wzor temu odpowiada?

grupy: ?

jc: Masz 3 takie podziały, które dają 3 permutacje. Złożenie dwóch takich permutacji jest znów taką permutacją lub identycznością. Czego Ci jeszcze potrzeba?

grupy: Ale skad te 3 podzialy? Jaki wzor to wyznacza?

grupy: Pytam, bo nie wiem skad biora sie te 3 podzialy. Mnie wyszlo 6 (ale chyba nie o to chodzilo). Dlatego wedlug jakiego wzoru wychodzi 3?