oblicz granice ciągu asdf:

	n2
an =
	3n

Wziałem iloraz a_n+1/a_n na moduł ma być mniejszy od 1 Dostałem coś takiego

	(n+1)2
|		| < 1
	3n2

Z tego wychodzi mi przedział: n ∊ (0, ¹₂ (1+√3)) Jak mam to interpretować? że ciąg jest zbieżny w tym przedziale a potem się rozbieżnia ()?

ABC:

	1		(n+1)2	3n		n+1		1
an+1		=			=(		)2
	an		3n+1	n2		n		3

pierwszy kawałek dąży do 1 przy n→∞ , więc granica 1/3 całości , mniejsza od 1

jc:

	n 3
3n = (2+1)n ≥		23

	n2		n2
0 ≤		≤		→0, oczywiście bierzemy n ≥ 3.
	3n		n 3   8

Adamm: Z tego co napisał ABC, wniosek, granica = 0

jc: Granica z tw. o trzech ciągach wynika, że granica = 0.

jc: Adamm, tak, ale trzeba powołać się na jakieś twierdzenie, niekoniecznie podawane na standardowym kursie analizy.

ABC: to może łatwiej przez indukcję machnąć że dla dostacznie dużych n (hehe większych niż 4) n²<2ⁿ jeśli już tymi drogami iść

Adamm: cóż

an+1
	<1 od pewnego miejsca
an

z tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym, jest zbieżny

	an+1
gdyby granicą była liczba dodatnia, to lim		= 1
	an

zatem ponieważ a_n>0, granicą musi być 0

jc: Dziękuję, masz rację, choć nie wiem, ilu studentów potrafiłoby tak uzasadnić wynik.

asdf: Napewno nie ja Skłaniałbym się w stronę indukcji. Jak ją wykonać w tym przypadku? Założenie; dla każdego n > 4, n² > 3ⁿ Teza: (n+1)² > 3ⁿ * 3 Dowód: 3ⁿ * 3 > n² * 3 co dalej

ABC: chłopie załamujesz mnie, jak dobrze że wiele lat temu przestałem być nauczycielem udowodnić musielibyśmy że dla n>4 n²<2ⁿ , żeby skorzystać z tw. o 3 ciągach(granicach) i mieć szacowanie z góry przez (2/3)ⁿ o którym to ciągu wiadomo że zbiega do zera a to co ty napisałeś to herezja jest ...

asdf: Chciałem wykazać, że mianownik rośnie szybciej niż licznik i wtedy całość by dążyła do zera

ABC: "rośnie szybciej " to należy ostrożnie operować takimi pojęciami:

n2
2n2

mianownik cały czas rośnie szybciej a granica wychodzi 1/2 nie chce mi się już dziś o tym dalej gadać bo późno się robi