Zbadaj dla jakich wartości początkowych a ciąg jest zbieżny asdf: Dany jest ciąg x₁ = a; x_n+1 = ¹₂ + ¹₂*(x_n)² Zbadaj dla jakich wartości początkowych a ciąg (xn) jest zbieżny, a dla jakich rozbieżny. W przypadkach gdy ciąg (xn) jest zbieżny oblicz jego granicę. Zbaraniałem gdy doszedł jakiś parametr, prosze o wskazówki! z moich marnych prób wyszło mi że a ∊ R − {1}, ale to raczej źle

Blee:

	1
xn+1 =		( 1 + (xn)2)
	2

1) niech to będzie ciąg zbieżny do granicy 'g', wtedy:

	1
g =		(1 + g2)
	2

g² − 2g + 1 = 0 (g−1)² = 0 −> g=1 czyli ciąg podany taką rekurencją może być zbieżny JEDYNIE do g=1 2) monotoniczność:

1
	(1 + (xn)2) − xn > 0 ⇔ xn2 − 2xn + 1 > 0 ⇔ (xn − 1)2 > 0 ... czyli dla xn ≠ 1
2

W takim razie: a) jeżeli x₁ > 1 to ciąg ten będzie rozbieżny, b) jeżeli x₁ = 1 to jest to ciąg stały o granicy g=1 c) jeżeli x₁ ∊ (−1; 1) to ciąg jest rosnący, zbieżny do 1 d) jeżeli x₁ = −1 to ciąg jest stały począwszy od x₂ i zbieżny do 1 e) jeżeli x₁ < −1 to ciąg jest rosnący i będzie rozbieżny

Rivit: Wow. O ile podpunkt b) rozumiem skąd się bierze to reszty nie wiem. Z warunku 2 wyszło Ci że ciąg jest rosnący gdy x_n jest różne od 1, ale skąd wiemy że będzie zbieżny czy nie?. Skąd się biorą te pozostałe warunki?

asdf: Wyjaśni ktoś skąd się biorą te wnioski?

Bleee: Wyjaśnię jak będę przy kompie

asdf: Okej, czekam niecierpliwie

Blee: na początek pytania: 1) Czy jasne jest w jaki sposób wyznaczona została (ewentualna) granica tego ciągu? 2) Czy jasnej jest w jaki sposób wyznaczona została (ewentualna) monotoniczność tego ciągu? Jeżeli tak − to proszę to napisać ... a przejdziemy dalej ... jeżeli nie to najpierw to trzeba 'przetrawić' nim pójdziemy dalej.

asdf: 1) założyłeś że x_n jest zbieżny, wiec mozemy wyznaczyć jego granice. Czyli każdy jego podciąg jest też zbieżny do tej samej granicy stąd to równanie. Z niego wynikło, że jeśli ten ciąg jest zbieżny to do jedynki (jego granica wtedy bedzie = 1); 2) monotoniczność − to sam próbowałem badać, gdy założyłem sobie że ciąg maleje to wyszedł mi zbiór pusty − wniosek = niemajejący rosnący wyszedł w dokładnie takim samym przedziale jak Tobie. Tylko nie wiem co się dzieje gdy wyrazy tego ciągu są równe 1 (czyli jakby 3 wariant tego równania/nierównosci) to jego wyrazy są stałe i są równe 1?

Blee: oki ... no to lecimy do tego co napisałem po monotoniczności: a) skoro x₁ > 1

	1		x12		1		1
to x12 > 1 ... więc x2 =		+		>		+		= 1 ... a z
	2		2		2		2

monotoniczności że ciąg ten będzie rosnący ... więc x₂ > x₁ ... i każdy następny będzie większy od poprzedniego ... więc nie będzie zbiezny do g=1 ... a wiemy, że to jest jedyna możliwa granica ... więc ciąg będzie rozbieżny e) skoro x₁ < −1 to x₁² > 1 ... więc x₂ > 1 ... i wniosek jak wcześniej (tylko mamy 1 < x₂ < x₃ < x₄ ... ) b) x₁ = 1

	1		1
to x12 = 1 to x2 =		+		*1 = 1 ... ciąg stały
	2		2

d) x₁ = −1 to x₁² = 1 to x₂ = 1 ... więc masz wyrazy −1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ..... czyli ciąg stały począwszy od drugiego wyrazu

Blee: ogólnie ... należy zauważyć, że jeżeli x_n = 1 (wyraz ciągu 'wpadnie w 1' to każdy następny wyraz także będzie 1)

Blee: i teraz pozostaje najważniejsze: c) x₁ ∊(−1;1) rozbiję to na dwa przypadki: c₁) x₁ ∊ <0 ; 1) wtedy x₁²∊<0 ; 1) ... co więcej x₁² < x₁ (prawda)

	1		1		1		1
więc x2 =		+		x12 <		+		= 1
	2		2		2		2

a z monotoniczności wiemy, że x₂ > x₁ czyli dostajemy ciąg rosnący i ograniczony z góry przez M = 1 ... na mocy odpowiedniego tw. wiemy, że taki ciąg będzie zbieżny ... a wcześniej wykazaliśmy że jedyną możliwą granicą będzie g=1 c₂) x₁ ∊ (−1 ; 0) analogicznie: x₁² ∊(0;1) ... więc posiłkując się teraz tym co było w (c₁) x₂² ∊(0;1) i x₂² < x₂ ... więc x₃ < 1 i znowu ... ciąg rosnący i ograniczony ... więc zbieżny do g=1

Blee: Jedyne co to trzeba jeszcze zadać sobie pytanie: Czy nie może być takiego x₁ = a ; żeby x_n ∊ (0, 1) , ale x_n+1 > 1 Sprawdzamy niech x_n ∊ (0; 1) wtedy 0 < x_n² < x_n < 1

	1		1		1		1
więc xn+1 =		+		xn2 <		+		*1 = 1
	2		2		2		2

sprzeczność. Czyli jeżeli jakikolwiek x_n ∊(0;1) to już każdy następny wyraz tego ciągu także będzie należał do (0;1) i będzie dążyć do 1 (na mocy tego co wcześniej pokazaliśmy)

Blee: tak naprawdę zadanie (żeby zostało zrobione porządnie) wymaga niestety trochę opisówki ... ale jak widzisz, nie jest to jakoś strasznie trudna opisówka.

asdf: Dziękuję za rozpisanie tego, muszę przysiąść i poczytać to. Jedno pytanie mnie nurtuje jeszcze, a mianowicie skąd wytrzasnąłeś tą −1 ? To trzeba na czuja sprawdzić albo zauważyć, że dla x₁ < −1 jest tak samo jak dla x₁ > 1?

Blee: asdf ... powiem tak ... 'na czuja', 'moja intuicja' czy też 'doświadczenie' (jak zwał tak zwał) podpowiedziało mi że (−1)² = 1² , a ogólniej (−x)² = x²

Blee: a drugie co mi 'moja intuicja' czy też 'doświadczenie' (już nie 'na czuja' a co było istotniejsze to to, że: x² > |x| dla |x| > 1 x² < |x| dla |x| < 1 x² = |x| dla |x| = 1

asdf: W takim razie, dzięki za czas i wyjaśnienie Ide klepać zadanka co by 'czuja' nabrać Dzięki jeszcze raz!

Blee: spoko ... nie ma sprawy