pokazac ze ciąg jest zbieżny i obliczyć jego granice asdf: pokazac ze ciąg jest zbieżny i obliczyć jego granice x₁ = 6; x_n+1 = √6+x_n

jc:

	xn − 3
xn+1−3=√6+xn−3=
	√6 + xn+ 3

	xn − 3		1
|xn+1−3|=|		|<		|xn−3|
	√6 + xn+ 3		3

Każdy następny wyraz jest co najmniej trzy razy bliżej liczby 3 niż wcześniejszy wyraz. Wniosek: granica = 3.

asdf: Rozumiem. Ja uczyłem się poprzez indukcję pokazywać monotonicznosć i ograniczoność jednak nijak mi nie wychodzi to. Mógłbyś rzucić okiem? Pierwiastek ogranicza mi ciąg od dołu przez 0. Zakładam, że ciąg jest ograniczony od góry przez 6. Teza: x_n ≤ 6; 1) dla n = 1 6 ≤ 6 true 2) x_n ≤ 6 / +6' x_n+6 ≤ 12 / sqrt() √x_n+6 ≤ √12 // √x_n+6 = x_n+1 // x_n+1 ≤ √12 Prawda, czyli ciąg jest ograniczony od góry przez 6; Czyli mam już ograniczoność, teraz monotoniczność. Wyznaczam sobie pare wartości: x₁ = 6; x₂ = √12; x₃ = √6+√12 √12 < 4 −> teza: ciąg malejący, czyli x₃ ≤ √12 x_n+1 < x_n √6 + x_n < x_n // ² 6 + x_n < (x_n)² (x_n)² − x_n − 6 > 0; x_n1 = 3; x_n2 = −2; x_n ∊ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) Tylko co to właśnie jest? co mi wyszło, że ciąg maleje w tych przedziałach? Pamiętam z ćwiczeń, że potem się robiło tak: ciąg ograniczony i monotoniczny −> ciąg zbieżny −> każdy podciąg jest zbieżny do tej samej granicy lim_n→∞ x_n = g = lim_n→∞ x_n+1 x_n+1 = √6+x_n g = √6+g // ² g² = 6+g; g = −2 lub g = 3; z twierdzenia o zachowaniu nierówności wynika że granica jest 3; −2 < 3 < x_n Trochę długo, ale tak mi jakoś lepiej udowadniać, jednak nie wiem czy to jest poprawne :x

jc: Możesz wychodzić od zaprzeczenia tezy, ale nie od tezy! x₁=6 > 3 x_n > 3 6+x_n > 9 x_n+1=√6+x_n>3 x₁=6 > √12=x₂ x_n−1 > x_n 6+x_n−1 > 6+ x_n x_n=√6+x_n−1 > √6+x_n=x_n+1

jc: Oj, źle zrozumiałem Twój tekst. Ciąg jest malejący, więc ograniczenie z góry nas nie interesuje.

Bleee: Skoro ciąg jest malejący to ograniczenie z dołu jest oczywiste (pierwiastek będzie liczba nieujemna)

jc: No tak, masz rację, że ciąg jest ograniczony z dołu przez 0. Wystarczy zająć się monotonicznością.

asdf: Rozumiem, a czy prawdą jest "Pierwiastek ogranicza mi ciąg od dołu przez 0" ? I czy mógłbyś mi powiedzieć co to za przedziały mi tam wyszły − w sensie co one oznaczają i jak je rozumieć, bo sam nie kumam już co policzyłem tam Czyli jak ciąg maleje to szukam ograniczenia od dołu, analogicznie dla rosnącego, tak?

asdf: Nie widziałem że odpowiedzieliście. To rozwiało pare wątpliwości Zostaje kwestia tych przedziałów − jak to interpretować?

jc: Wydaje się, że pokazałeś, że jeśli ciąg jest malejący, to wyrazy ciągu należą do sumy dwóch przedziałów, a ponieważ ciąg faktycznie jest malejący, to wyrazy należą do sumy przedziałów. Ja pokazałem nieco więcej, a mianowicie, że wyrazy ciągu należą do przedziału (3,6].

asdf: Dziękuję bardzo!