średnia 'harmonicza' a zadania z treścią gracjan - mat. entuzjasta :-): Witam, mam pytanie odnośnie ogólnych zadań typu: A wykonał coś w czasie x, B wykonał coś w czasie y, ile czasu zajmie im wykonanie tego razem? Tego typu zadania łatwo wykonuje się stosując metodę:

1
	= ...
1   1   +   x   y

Czyli, w jedną jednostkę czasu A wykonał tyle pracy, w jedną jednostę czasu B wykonał tyle pracy, razem zajmie im to... Wygląda to na średnią harmoniczą, która ma wzór:

	n
H =
	1   1   1   + + ... +   x1   x2   x3

I pytanie które mnie nurtuje, to dlaczego w takich zadaniach zawsze w liczniku jest 1 a nie ilość elementów średniej? Nie mogę tego zrozumieć.

gracjan - mat. entuzjasta :-): tam we wzorze na srednią harmoniczna powinno byc "... + x_n"

gracjan - mat. entuzjasta :-): Podbijam

Pytający: t_i // czas, jaki i−ta osoba potrzebuje na "coś" (powiedzmy pomalowanie 1 metra płotu) Co ważne, każde t_i odpowiada temu samemu "czemuś" (pomalowaniu 1 metra płotu).

1
	// efektywność/wydajność i−tej osoby, znaczy jaką część tego "czegoś" (ile metrów
ti

płotu) wykonuje i−ta osoba w jednostce czasu (takiej samej, w jakiej wyrażone jest t_i);

	1
∑i=1..n(		) // efektywność/wydajność wszystkich n osób łącznie, znaczy jaką część
	ti

tego "czegoś" (ile metrów płotu) wykonuje wszystkie n osób w jednostce czasu (takiej samej, w jakiej wyrażone jest t_i), przy założeniu, że wspólne robienie "czegoś" nie zwalnia/przyspiesza procesu, każdy jest tak samo efektywny jak gdyby robił to sam

1
	// czas (w jednostce takiej jak ti) potrzebny wszystkim n osobom
1   ∑i=1..n( )   ti

na jedno "coś" (pomalowanie 1 metra płotu)

n
	// czas (w jednostce takiej jak ti) potrzebny wszystkim n osobom
1   ∑i=1..n( )   ti

na n−krotne "coś" (pomalowanie n metrów płotu) Jeśli z kolei mielibyśmy podane, że i−ta osoba wykonuje x_i "czegoś" w czasie t_i (maluje x_i metrów płotu w t_i jednostkach czasu), to:

xi
	// efektywność/wydajność i−tej osoby, znaczy jaką część tego "czegoś" (ile metrów
ti

płotu) wykonuje i−ta osoba w jednostce czasu (takiej samej, w jakiej wyrażone jest t_i);

	xi
∑i=1..n(		) // efektywność/wydajność wszystkich n osób łącznie, znaczy jaką część
	ti

tego "czegoś" (ile metrów płotu) wykonuje wszystkie n osób w jednostce czasu (takiej samej, w jakiej wyrażone jest t_i), przy założeniu, że wspólne robienie "czegoś" nie zwalnia/przyspiesza procesu, każdy jest tak samo efektywny jak gdyby robił to sam

1
	// czas (w jednostce takiej jak ti) potrzebny wszystkim n osobom
xi   ∑i=1..n( )   ti

na jedno "coś" (pomalowanie 1 metra płotu)

n
	// czas (w jednostce takiej jak ti) potrzebny wszystkim n osobom
xi   ∑i=1..n( )   ti

na n−krotne "coś" (pomalowanie n metrów płotu) Oczywiście dla x_i=1 masz to co wcześniej. I nie radzę uczyć się tych wzorów na pamięć (jak większości), jak widać wszystko prosto się wyprowadza, wystarczy zrozumieć.

PW: Wydajność to liczba wykonanych jednostek w pewnym czasie. Przykład: Robotnik A wykopał 15 m rowu w czasie x=5 godzin. Jego wydajność to

	15 m
		.
	5 h

Robotnik B wykopał 15 m rowu w czasie y=8 godzin. Jego wydajność to

	15 m
		.
	8 h

Kopiąc razem wykopaliby 15 m rowu w czasie t godzin. Wykonana przez nich praca (15 m rowu) składa się z dwóch odcinków (najlepiej wyobrazić sobie, że kopią osobno z końców odcinka 15 m aż do momentu spotkania):

	15 m		15 m
15 m =		•(t h) +		•(t h)
	5 h		8 h

	15 m		15 m
15 m = (t h)(		+		)
	5 h		8 h

	1		1
15 m = (t h)•(15 m)(		+		)
	5 h		8 h

Niezależnie od tego ile jednostek braliśmy pod uwagę pzry obliczaniu wydajności (w tym wypadku 15 m)

	1		1
1 = (t h)•(		+		)
	5 h		8 h

Niezależnie od przyjętej jednostki czasu przy obliczaniu wydajności (w tym wypadku była to 1 h)

	1
t =		.
	1   1   + 5   8

Czas potrzebny na wykonanie pracy przez obydwu robotników jest średnią harmoniczną czasów potrzebnych do wykonania pracy przez każdego z nich z osobna.

PW: Pytający, znacznie więcej czasu zajęło mi wykopanie rowu niż Tobie pomalowanie płotu

Pytający: PW, tak przeczytałem ten ostatni post i z 10 sekund zastanawiałem się, o jakie kopanie rowu Ci chodzi... I cóż, przedstawiłeś to na konkretnych liczbach, ja dosyć teoretycznie, więc zawsze jakieś inne spojrzenie na temat.

Leszek: Mozna pokazac rozwiazanie tego typu zadania zwlaszcza dla maturzystow matury podstawowej : Wydajnosc pracy w = W/t , W − calkowita praca , t czas pracy Czyli : w₁ = W/t₁ , w₂ = W/t₂ w= W/t ⇔ W/t= W/t₁ + W/t₂ ⇔ 1/t = 1/t₁ + 1/t₂

gracjan - mat. entuzjasta :-): Dzięki sporo mi się rozjaśniło , przeanalizuje jeszcze to co napisaliście i spróbuje użyć w zadaniach, a jakby co to napiszę.

Leszek: Kolega @PW napisal o sredniej harmonicznej , ale to jest prawdziwe tylko gdy jest wykonana taka sama praca . Np.zadanie : jeden robotnik wykonal samodzielnie (1/3) calej pracy w czasie t₁ , a w czasie t₂ wykonal (1/4) calej pracy .W jakim czsie pracujac razem wykonaja cala prace ? W oparciu o pojecie wydajnosi i sumy tych wydajnosci otrzymujemy : W/t = (1/3)W/t₁ + (1/4)W/t₂ ⇔ 1/t = (1/3)/t₁ + (1/4)/t₂ Tak mozna rozwiazywac tego typu zadania np.dla trzech i wiecej robotnikow , maszyn ...

Leszek: Sorry , powinno byc oczywiscie ze drugi robotnik wykonal w czasie t₂ prace (1/4) calej pracy !