Wyraz ogólny ciągu Nick: Hej, mam tutaj pytanie z serii może głupich, ale no nie wiem. "Podaj wzór − w postaci funkcji zmiennej n należy do N − na wyraz ogólny ciągu a_n = 1*4 +4*7 +...+ (3n−2)*(3n+1) i tearz pytanie, czy wyraz ogól ny to nie jest to: (3n−2)*(3n+1) bo jak nie, to co mam właściwie zrobić w tym zadaniu

Mila: (3n−2)*(3n+1) to n−ty składnik sumy Musisz obliczyć sumę : a_n=S=1*4 +4*7 +7*10+...+ (3n−2)*(3n+1) S=∑(k=1 do n)[(3n−2)*(3n+1) ]=∑(k=1 do n)(9k²−3k−2)= rozbijamy na dwie sumy: =9*∑(k=1 do n)k²−∑(k=1 do n)(3k+2)= w pierwszej sumie masz sumę kwadratów kolejnych licz naturalnych od 1 do n, w drugiej sumę n− wyrazów c. arytm.

	n*(n+1)*(2n+1)		3n+7
=9*		−		*n=
	6		2

	3*(2n2+n+2n+1)−3n−7		6n2+9n+3−3n−7
=n*(		)=n*		=
	2		2

	n*(6n2+6n−4)
=		=
	2

=n*(3n²+3n−2) a_n=f(n)=n*(3n²+3n−2) Licz sama jeszcze raz

Nick: poczekaj, bo nie rozumiem, dlaczego w pewnym momencie przemieniłaś (3n−2)*(3n+1) na literke "k"? oraz nie rozumiem rozbicia sumy

Mila: Masz obliczyć sumę n wyrazów sumy , w której każdy składnik ma wartość (3k−2)*(3k+1) gdzie k=1 do n . (3k−2)*(3k+1) po wymnożeniu jest równe 9k²−3k−2=9k²−(3k+2) Licz teraz a₁, a₂,a₃ to zrozumiesz

Nick: nie, nie rozumiem rozumiem zapis sumy − ok i że mamy obliczyć wyrazów sumy, ale nie mam pojęcia skąd wiesz, że to (3k+2) mam traktować jako ciag arytmetyczny oraz, ze 9∑ k² to [n*(n+1)*(2n+1)]/6?

Nick: Nie moge po prostu do sumy: 9k²−3k−2=9k²−(3k+2) podastwaić pod k=1 dalej, k=2, k=3 itd ?

Nick: ktoś pomoże zrozumieć ?

Blee: "nie mam pojęcia skąd wiesz, że to (3k+2) mam traktować jako ciag arytmetyczny" Zauważ, że ∑(3k+2) to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego; gdzie: b₁ = 3*1 + 2 b₂ = 3*2 + 2 b₃ = 3*3 + 2 .... itd. "oraz, ze 9∑ k² to [n*(n+1)*(2n+1)]/6" to już jest jeden ze wzorów który czasami w zadaniach trzeba wykazać indukcyjnie ... tyle że powinno być bez 9 przed sumą (tak zresztą ma Miluś) "Nie moge po prostu do sumy: 9k2−3k−2=9k2−(3k+2) podastwaić pod k=1 dalej, k=2, k=3 itd ?" Nie ... bo: a₁ = ten wzór dla k=1 a₂ = ten wzór dla k=1 + dla k=2 a₃ = ten wzór dla k=1 + dla k=2 + dla k=3 ..... a_n = ten wzór dla k=1 + dla k=2 + dla k=3 + .... + dla k=n I jak tutaj tak podstawiając chcesz wyznaczyć wzór funkcji (zależnej od 'n')

Nick: Dobra, prawie rozumiem, ale ten fragment "Zauważ, że ∑(3k+2) to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego; gdzie: b1 = 3*1 + 2 b2 = 3*2 + 2 b3 = 3*3 + 2 .... itd."

	3n+7
I dalej średnio rozumiem skąd		*n bo suma n wyrazów w ciągu arytmetycznym to
	2

	(a1 +an)		3n+7
s =		*n to jakie przekształcenia musiały zajść by to było równe		*n
	2		2

Skoro u nas a₁ = 3k+2 a wzór na a_n = a₁+(n−1)*r ?

Pytający:

	(3*1+2)+(3*n+2)		3n+7
∑k=1n(3k+2)=		*n=		*n
	2		2

Albo jeszcze inaczej (acz wcale nie prościej): ∑_k=1ⁿ(3k+2)= =∑_k=1ⁿ(3k)+∑_k=1ⁿ(2)= =3∑_k=1ⁿ(k)+2∑_k=1ⁿ(1)=

	1+n
=3*		*n+2*n=
	2

	3n+7
=		*n
	2

Nick: wiem skad (3*1+2) bo to 3k+2 , ale skąd nagle "(3*n+2)" i to jeszcze z n−em

Nick: czy wyrazem n nie powienien wyglądać tak: an = a₁+(n−1)*r oraz a₁ = 3k+2

	a1 +an		3k+2+ [3k+2+(k−1)*3]
to suma nie powinan wyjść:		czyli =
	2		2

Mila: a_k=3k+2 ogólny wzór ciągu ciągu arytmetycznego , to jest wzór na k−ty wyraz ciągu. a₁=3*1+2=5, za k podstawiasz 1 to n−ty wyraz ciągu tak obliczasz : a_n=3n+2 S_n suma n wyrazów ciągu

	a1+an		5+3n+2		3n+7
Sn=		*n=		*n=		*n
	2		2		2

=========================== Sprawdzam , że a_k=3k+2 jest ciągiem arytmetycznym a_k+1=3*(k+1)+2=3k+3+2 a_k+1−a_k=3k+3+2−3k−2=3 r=3 różnica ciągu (stała) n−ty wyraz to a_n=3n+2 100−tny wyraz to a₁₀₀=3*100+2

Nick:

	n(n+1)
dobra rozumiem, ten "trudniejszy" zapis, bo suma (k)=
	2

ale chce się dopytać, suma z cyfry jak tutaj jest z (1) to zawsze jest 2 razy "n" I to

	n(n+1)
należy zapamietac jak powyższą przemiane ? że suma K =
	2

Pytający: "wiem skad (3*1+2) bo to 3k+2 , ale skąd nagle (3*n+2) i to jeszcze z n−em" (3*1+2)=3k+2 dla k=1 (3*n+2)=3k+2 dla k=n ∑_k=1ⁿ(3k+2)=(3*1+2)+(3*2+2)+...+(3*n+2) A jeśli naprawdę musisz to mieć przedstawione jako a_n=a₁+(n−1)r, to: a₁=3*1+2=5 r=a₂−a₁=(3*2+2)−(3*1+2)=3 a_n=5+(n−1)*3=3n+2

Nick: aaa "a1=3*1+2=5, za k podstawiasz 1 to n−ty wyraz ciągu tak obliczasz : an=3n+2 " bo mi się zaczeło wszytsko mieszać z tym wzorem na a_n=a₁+(n−1)*r

Nick: oki, rozumiem, dziękuję

Pytający: Poniżej masz po prostu sumy dla ciągu stałego: ∑_k=a^b(1)=1+1+...1=(b−a+1)*1=(b−a+1) // sumujemy (b−a+1) jedynek ∑_k=1ⁿ(1)=1+1+...1=n*1=1 // sumujemy (n−1+1)=n jedynek ∑_k=1²(1)=1+1=2*1=2 // sumujemy (2−1+1)=2 jedynek ∑_k=3⁶(1)=1+1+1+1=4*1=4 // sumujemy (6−3+1)=4 jedynek ∑_k=1³(2)=2+2+2=3*2=6 // sumujemy (3−1+1)=3 dwójek 2∑_k=1³(1)=2(1+1+1)=2(3*1)=6 // dwukrotnie sumujemy (3−1+1)=3 jedynek Nic nie trzeba zapamiętywać − samo się zapamięta, jak zrozumie się zapis.