grupy grupy: Dana jest grupa G, jej element a∊G oraz homomorfizmy grup f:(Z, +)→G i g:(Z, +)→G takie, ze a=f(1)=g(1). Udowodnic, ze f(k)=g(k) dla kazdego k calkowitego. Z=<1>. Homomorfizmy sa okreslone na generatorach jednoznacznie. Tylko nie wiem jakie dzialanie jest w G. Zakladam, ze dodawanie. Dla k calkowitego nieujemnego: f(k)=f(1+1+...+1)=f(1)+f(1)+...+f(1) (k razy) =ka g(k)=ka Dla k calkowitego ujemnego?

grupy: ?

grupy: ?

grupy: Dla k calkowitego ujemnego: f(k)=g(k)=a^k, k calkowite nieujemne g(−k)=f(−k)=(a^k)⁻¹=a^−k, (−k) calkowite niedodatnie Stad f(k)=g(k) dla k calkowitego. Dobrze? Moze da sie inaczej?

ABC: ty mieszasz chyba zapis addystywny z multiplikatywnym dla ujemnych wykorzystaj łatwo dający się pokazać fakt który w zapisie addytywnym wygląda tak: 0₂=h(0₁)=h(−1+1)=h(−1)+h(1) stąd h(−1)= −h(1) dałem indeksy do elementów neutralnych żeby czytelniej było

grupy: Czyli f(−k)=−f(k)=−(ka)=−ka=(−k)a=g(−k) , k calkowite nieujemne (czyli (−k) calkowite niedodatnie) Stad f(k)=g(k) dla k calkowitego. Tak?

grupy: ?

grupy: ?

Adamm: Co ma G do tych homomorfizmów? Tak naprawdę to nic. f(1)=g(1) f(1)^k = g(1)^k f(k) = g(k), k∊Z bo homomorfizm zachowuje operację potęgowania