Równanie wykładnicze Maciess: √ x^x =x^√x

Bleee: x⁽x/2} = x^x1/2 Dla x≠0 x/2 = x^1/2 x² = 4x x(x−4) = 0 Dla x= 0 Masz symbol nieoznaczony

Maciess: Doszedłem do tego samego, alee co z x=1?

iteRacj@: to jest rozwiązanie dla: x>0 (to wynika z tego że w zapisie równania jest √x oraz z def. funkcji wykładniczej) i dla x≠1 (to wynika z def. funkcji wykładniczej) dla x=1 podstawiamy i sprawdzamy, że równanie jest prawdziwe

jc: Bleee, tu nie liczymy granic, więc nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego.

jc: x≥0 x^x = x^2√x x=0 i x= 1 są rozwiązaniami. dla pozostałych x, x=2√x, czyli x=4.

maciek w szkole: Odkopuje temat i dopytuje o to rozwiązanie dla x=0. W szkole dwóch nauczycieli mi powiedziało, że jednak nie. Kogo słuchac?

ABC: powiedz im że przyjmujesz umowę 0⁰=1

PW: Nauczyciele odpowiadali, że 0 nie jest rozwiązaniem, bo w szkole średniej nie definiuje się 0⁰ (stwierdza się, że taki symbol nie oznacza żadnej liczby).

Pytający: Dla x=0 Twoje równanie ma postać: √0⁰=0^√0 √0⁰=0⁰ Jak widać to czy x=0 jest rozwiązaniem zależy od tego, czy i jak zdefiniowane jest 0⁰: • 0⁰=1 wtedy x=0 jest rozwiązaniem, • 0⁰=0 wtedy x=0 jest rozwiązaniem, • 0⁰ niezdefiniowane wtedy x=0 nie jest rozwiązaniem. https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero

jc: Nie uczyłem się w szkole, miałem inne atrakcje. Na studiach nikt mi takich rzeczy nie mówił. W posiadanych podręcznikach też chyba nic na ten temat nie było. Bez tej umowy mamy kłopot z niektórymi wzorami, Nie moglibyśmy napisać ∑_n=1^∞ xⁿ bez zastrzeżenia, że dla x=0 obowiązuje inny wzór. Oczywiście można by wydzielić pierwszy składnik: 1+∑_n=1^∞ xⁿ lub w ogóle nie używać symbolu ∑.

	n k
Nie moglibyśmy bez zastrzeżeń napisać wzoru (a+b)n=∑k=0n		an−kbk.

	xn
Czy widziałeś wzór ex=∑n=0∞		?
	n!

Czy ktoś ostrzegał, że dla x=0 wzór traci sens? Ale może w szkole nie używa się symboli ∑. Nie wiem. Podobnie jest z n!. Można przecież nie definiować 0! ale lepiej się umówić, że to 1. Definicje są dla naszej wygody

6latek: Dzien dobry jc W posiadanych podrecznikach jest taka umowa chocby w podreczniku do klasy 3 technikum i liceum zawodowego Stefana Straszewicza (1972 r) ze 0⁰=1 jest to uzupelnienie definicji Dla dowolnej liczby a≠0 a⁰=1

	1
a−n=
	an

Jednak pisze dalej tak Nie bedziemy wprowadzac znaku 0⁰ gdyz nie jest on nam potrzebny Zapamietajmy wiec ze 0⁰ nie oznacza zadnej liczby

jc: 6latku, jak wspomniałem, definicje są dla naszej wygody. Bez tej umowy, że 0⁰=1 trudno mówić o szeregach potęgowych. Przy tym temacie, nikt nawet nie wspomina o tym, że 0⁰=1, zakładając, że jest to znana umowa. Umowa nie ma większego znaczenia, jeśli nie używamy symbolu ∑. Ja akurat preferuję zapis z kropkami: a₁+a₂a₃+...+a_n.

PW: Panowie, zbyt duża wiedza przeszkadza czasami. Uczeń pyta, trzeba mu udzielić odpowiedzi zgodnej z podstawa programową. CKE publikuje wzory zgodne z tą podstawą, np. http://www.maturzysta.info/pdf_portal/2015/Matematyka-Wybrane-wzory-matematyczne.pdf − na stronie 1. jest wyraźnie powiedziane, że definiuje się symbol a⁰ tylko dla a≠0. Jak przykładowo podał 6latek w podręcznikach szkolnych nie definiuje się symbolu 0⁰. Na pytanie o dziedzinę równania √x^x=x^√x uczeń powinien odpowiedzieć, że x∊(0,∞). Natomiast niepotrzebne są rozważania czy może być x=1. Wyrażenie x^x ma sens dla x=1 i nie jest to funkcja wykładnicza.

jc: Wystarczyłoby więc w treści zadania dodać, że x>0 i po kłopocie. W jakich miejscach umowa 0⁰=1 sprawia problemy?

Leszek: W programie szkolnym przyjmuje sie dla funkcji wykladnicze y= a^x , ze a> 0 Czyli w tym zadaniu x> 0

Maciess: Dziękuje wszystkim za odpowiedzi. Gdyby coś podobnego pojawiło się na maturze to już wiem wszystko − PW rozwiał moje wątpliwości. Ale szczerze mówiąc to chodziło mi bardziej o to czy faktycznie 0 jest rozwiązaniem (nie na egzaminie)