Liczby zespolone - miejsca zerowe wielomianu Irbis: Witam, mam problem z zadaniem Podany jest wielomian w(x)=x⁴−4x³+12x²−16x+15 jednym z miejsc zerowych jest z=1+2i w takim razie z₂=1−i, ale jak znaleźć pozostałe dwa pierwiastki? zamiana na formę trygonometryczną nie jest możliwa w tym przypadku, jak zrobić to w inny sposób? zależy mi na zrozumieniu w jaki sposób do tego dojść, a nie sama odpowiedź (ją znam z₃=1−i√2, z₄=1+i√2) z góry dziękuję za pomoc

Blee: skoro z₁ = 1+2i jest pierwiastkiem, to drugim jest z₂ =1−2i (x − z₁)(x + z₂) = x² − 2x + 5 więc można pogrupować sobie: w(x) = x⁴ − 2x³ + 5x² −2x³ +4x² −10x +3x² −6x + 15 = (x²−2x+5)(x²−2x+3) no i szukasz pierwiastków z drugiego nawiasu

Irbis: dziękuję <3 bardzo mi pomogła ta odpowiedź ale mam jeszcze pytanie co by było gdyby wielomian był np 6 stopnia wtedy tym sposobem powstałby wielomian 4 stopnia, byłoby dalej możliwe znalezienie tym razem 4 pierwiastków?

6latek:

6latek: x−z₁)(x−z₂)= (x−(1+2i)(x−(1−2i)= (x−1−2i)(x−1+2i)= =x²−x+2ix−x+1−2i−2ix+2i+4= x²−2x+5 (x⁴−4x³+12x²−16x+15)/(x²−2x+5)= x²−2x+3 x²−2x+3=0 Δ= −8 √−8= i√8= i2√2

	2−ip2√2
z3=		= 1−i√2
	2

	2+i√2
z4=		= 1+i√2
	2

==============================

Irbis: dziękuję za pomoc ale w sumie to już zrozumiałam, zastanawiałam się tylko czy jeśli miałabym wielomian 6 lub większego stopnia i tylko jeden pierwiastek to czy ten sposób również by zadziałał?

6latek: Mysle ze tak

Bleee: Tylko przy wyższych stopniach wielomianu po takim rozłożeniu nadal masz wielomianu wysokiego stopnia z którego trudno wyluskac pierwiastki. Ale oczywiście, że w taki dokładnie sposób możesz sobie od razu ulatwic poszukiwanie kolejnych pierwiastków. Ważna sprawa − jeżeli wielomianu jest nieparzystego stopnia TO NA PEWNO masz przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. (wynika to z faktu, że pierwiastki zespolone zawsze występują parami)

Irbis: Rozumiem, dziękuje bardzo za wszystkie odpowiedzi