Granica z definicji Satan: Cześć, próbuję zrozumieć pojęcie granicy z definicji i przeglądając Wikipedię trafiłem na coś, co nie do końca rozumiem. Więc cytując słowo w słowo:

	1
Granicą ciągu an =		jest 0
	n

	1
Dla dowolnego ε wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od		. Wówczas dla
	ε

	1		1
dowolnego wskaźnika n > N otrzymuje się n >		czyli		< ε.
	ε		n

	1
Pytanie brzmi: dlaczego za N przyjmujemy liczbę większą od		? Rozumiem, że przy
	ε

ε ∊ (0, 1) otrzymamy tym sposobem duży wskaźnik N, ale dalej nie mogę załapać jaki to ma konkretnie cel.

Blee: Uwaga −−− by się nie myliło, Twoje 'N' zamieniłem na 'm' definicja mówi tak: "dla dowolnie małego ε>0, jeżeli istnieje taki m ∊ N₊, że wszystkie wyrazy po a_m będą w widełkach g−ε do g+ε to ciąg a_n jest zbieżny do granicy g" należy zauważyć parę sprawa:

	1
1)		NIE MUSI być liczbą całkowitą (naturalną) ... więc jej wziąć nie można
	ε

	1
2) wybranie liczby mniejszej od		powoduje że nie spełniona jest nierówność wskazana w
	ε

twierdzeniu

	1
Dlatego przeważnie zapisuje się: N = 'sufit' (		) ... czyli bierze się pierwszą liczbę
	ε

	1		1
naturalną NIE MNIEJSZĄ od		(bo oczywiście jeżeli		będzie całkowitą liczbą, to
	ε		ε

można ją wybrać)

Satan:

	2
1) Rozumiem, przykładowo ε =		już psułoby założeniu m ∊ N+
	1001

	1
2) Chodzi tutaj o nierówność ε > 0? Mam problem z wizualizacją tego. Bo przy m >		jasne
	ε

	1		1
jest, że skoro n > m, to n >		. Ale co się stanie, gdy m <		? Dajmy na to ε =
	ε		ε

	1
		. Wtedy m < 1000 i n > m, a więc n może być zarówno przed 1000, jak i za nim. O to
	1000

chodzi?

	1
Czy może tu się kombinuje, by dostać postać		< ε tak, jak w definicji?
	n

Leszek: Definicja granicy : lim a_n = g , dla n → ∞ , ⇔ .......czyli | a_n −g | < ε np . a_n = 1/n , g =0 | 1/n | < ε ⇔ 1/n < ε ⇒ n > 1/ε , czyli dla kazdej ε > 0 istnieje takie n naturalne ,ze .........dokoncz ! !

Satan: Dobrze, teraz mam pewność. Tak zakładałem, że najpierw należy rozwiązać nierówność z modułem, a dopiero wysuwać wniosek co do N. Dziękuję pięknie