grupy grupy: Wyznaczyc wszystkie homomorfizmy f:G→H, gdzie: a) G=(Z,+), H=(Z₄,+₄) Generatorem Z jest −1 lub 1. Czy ma znaczenie jakiego generatora uzyje i dlaczego?

jc: Nie ma znaczenia. Jeden lepiej wygląda. Oto wszystkie homomorfizmy: f(x)=(kx) mod 4, k=0, 1,2,3

grupy: A mozna tez zapisac f(1)=k, k∊Z₄?

jc: Można.

Adamm: Nawet lepiej wyg:ąda

grupy: b) G=H=(Q, +) Grupa (Q, +) nie jest cykliczna, wiec nie ma generatora.

jc: Mnożenie przez dowolną liczbę wymierną. f(x+y)=f(x)+f(y) f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0), f(0)=0 f(nx)=nf(x), n=1,2,3,... 0=f(0)=f(x+(−x))=f(x)+f(−x), f(−x)=−f(x) m f(1)=f(m)=f( n(m/n) )=n f(m/n), n>0, m dowolne f(m/n)= f(1) (m/n)

grupy: c) G=H=(Z, +) Wowczas mnozenie przez dowolna liczbe calkowita; f(x)=kx, k,x calkowite. d) G=H=(R, +) Wowczas mnozenie przez dowolna liczbe rzeczywista; f(x)=kx, k,x ∊R. Tak?

jc: (c) tak (d) to może być trudne ... Może są jakieś inne homomorfizmy?

grupy: Ok e) G=H=(Q\{0}, ⋅) f(1)=1 f(gⁿ)=(f(g))ⁿ f) G=H=(R\{0}, ⋅)

grupy: ?

Adamm: Przy założeniu aksjomatu wyboru, istnieją inne homomorfizmy do d)

Adamm: e) homomorfizm jest wyznaczony jednoznacznie przez f(−1) równe −1 lub 1 f(1) = 1 f(p) dla p pierwszych

grupy: Czy grupy Q\{0} oraz R\{0} sa cykliczne?

grupy: nie moga byc po nie ma takiej liczby, ktora wygeneruje caly zbior Q czy R prawda?

grupy: ?

grupy: ?

Adamm: Nie są cykliczne