grupy grupy: Niech X={1,2}^{1,2}. Czy (X, o) jest grupa? (dzialanie o to dzialanie zlozenia funkcji) Takich funkcji bedzie 2²=4. f:{1,2}→{1,2}; (oznacze je przez a,b,c,d) 1) a(1)=1 a(2)=2 2) b(1)=2 b(2)=1 3) c(1)=1 c(2)=1 4) d(1)=2 d(2)=2 1. skladanie funkcji jest laczne (tego nie trzeba sprawdzac) 2. jaki element neutralny? 3. czy sa odwrotne zakladajac, ze jest neutralny? nie kazda funkcja bedzie miala element odwrotny, bo nie kazda jest bijekcja (c i d nie sa bijekcjami). Zatem (X, o) nie jest grupa. Dobrze? A jaki jest element neutralny?

Adamm: Trudno mówić o elemencie odwrotnym, gdy nie m elementu neutralnego

grupy: Ale mozna zalozyc, ze jest element neutralny i wtedy stwierdzic, ze nie ma odwrotnego.

Adamm: To nie ważne, bo uzasadnienie jest złe Funkcja odwrotna nie musi być elementem odwrotnym

grupy: No tak, ale funkcja ma element odwrotny, czyli funkcje odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcja. A tutaj sa funkcje, ktore nie sa bijekcjami, wiec nie maja one funkcji odwrotnej, czyli elementu neutralnego. Nie sa bijekcjami zatem nie istnieje dla nich element odwrotny.

grupy: czyli elementu odwrotnego

grupy: Dobrze to rozumiem?

jc: Masz 4 funkcje. Złożenie dowolnych dwóch z nich znów jest jedną z nich. Wśród tych 4 funkcji mamy identyczność (funkcja a), która jest elementem neutralnym. Składanie funkcji jest łączne. Pozostaje problem elementów odwrotnych. Mamy dwa elementy (dwie funkcje), a mianowicie c i d, do których nie istnieją elementy odwrotne. Dla żadnego u, c o u = a. c(u(2))=1≠2=a(2). Rozpatrywany zbiór nie jest grupą.

Adamm: Przyznałeś mi rację, i potem to zanegowałeś

grupy: Moje uzasadnienie tez bylo dobre czy zbyt ogolne?