grupy
grupy:
Czy f: G→H homomorfizm?
f:(Q,+)→(Q∖{0},⋅); f(2)=1
eQ=0, eQ∖{0}=1 stad f(0)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)⋅f(1)=(f(1))2=1
f(1)=−1∨f(1)=1
Dla 1 nie moze byc dwoch wartosci przeciez.
14 lis 08:27
jc: f(1)=f(0+1)=f(0)f(1)
f(0)=1 bo f(1)≠0
f(2)=1
1=f(1+1)=f(1)f(1), f(1)=1 lub f(1)=−1
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)2, czyli f(1)>0
f(1)=1
f(n)=1
wywnioskuj dalej, że f(x)=1 dla każdego x∊Q, ...
14 lis 09:54
grupy:
czyli f(n)=1 dla n∊Z
niech x∊Q
| | a | | 1 | | 1 | | 1 | |
f(x)=f( |
| )=f( |
| + |
| +...+ |
| ) (a razy) |
| | b | | b | | b | | b | |
| | 1 | | 1 | | 1 | |
=f( |
| )f( |
| )...f( |
| ) (a razy) |
| | b | | b | | b | |
tak?
14 lis 10:53
Adamm:
Trzeba uzasadnić f(1/b) = 1
14 lis 13:38
grupy:
Oprocz tego powyzej czy tylko?
14 lis 13:50
jc:
f(x)=f(x/2 + x/2) = f(x/2)2 > 0
1=f(0)=f(x+(−x))=f(x)f(−x)
f(−x)=1/f(x)
p, q > 0
1=f(q)=f(p*(q/p))=f(q/p)p
wiemy już, że f(q/p)>0, dlatego f(q/p)=1.
Dla zera i ujemnych ułamków też mamy 1.
14 lis 14:04
grupy:
A moje uzasadnienie tez bylo chociaz w czesci poprawne?
14 lis 14:13
jc: Tak, jak wspomniał Adamm, zabrakło uzasadnienia, że f(1/b)=1. Poza tym o.k.
1=f(b/b)=f(1/b)b, f(1/b)=1 lub f(1/b)=−1.
f(1/b)=f(2/(2b))=f(1/(2b))2>0, dlatego pozostaje f(1/b)=1.
14 lis 14:23