Liczby zespolone Omikron: Mam problem z dwoma zadaniami. Zad 1. Udowodnić, że jeżeli dla różnych liczb zespolonych z₁,z₂ zachodzi |z₁| = |z₂|, to

	1
również		|z1 + z2| < |z1|
	2

	1		1		1
Na pewno zachodzi		|z1 + z2| ≤		|z1| +		|z2| = |z1|
	2		2		2

	1
Wystarczy więc pokazać, że		|z1 + z2| ≠ |z1|. Zupełnie nie mam pomysłu jak to zrobić.
	2

Zad 2. Udowodnić, że dla dowolnego n∊N i α ∊ (0,π) spełniona jest następująca równość: n

	cos((n+1) * α/2) * sin(n * α/2)
∑ cos(kα) =
	sin(α/2)

k=1 Próbowałem indukcyjnie, ale nie wychodzi mi podpunkt 2 dowodu. Proszę o pomoc.

jc: (1) |z|=|w|, z≠w |z+w| ≤ |z|+|w|, Równość zachodzi tylko w przypadku, kiedy z=0 lub z=tw, t≥0. Ale wtedy |z|=t|w|, co oznacza, że t=1, czyli dla |z|=|w|. Zatem |z+w|< |z|+|w|=2|z|. Dzielisz przez 2 i masz. (2) z=cos a/2 + i sin a/2

	z2−z2n+2		zn−z−n
z2+z4+...+z2n=		=		zn+1
	1−z2		z−z−1

	sin na/2
=		(cos(n+1)a/2 + i sin(n+1)a/2)
	sin a/2

Część rzeczywista to Twoja suma.

Omikron: Dziękuję.