zasada włączeń i wyłączeń asdf: Następne zadanie z zasady włączeń i wyłączeń − tym razem prosze tylko o wskazówki czym jest A₁, A₁∩A₂ itp Na ile różnych sposobów można rozsadzić cztery małżeństwa przy okrągłym stole, tak aby żadne dwie kobiety nie siedziały naprzeciw siebie?

Rivit: Podbijam

asdf: podbijam

Pytający: A_i // naprzeciwko kobiety z i−tego małżeństwa siedzi kobieta |Ω|−|A₁∪A₂∪A₃∪A₄|=

	4 1		4 2		4 3		4 4
=|Ω|−(		|A1|−		|A1∩A2|+		|A1∩A2∩A3|−		|A1∩A2∩A3∩A4|)=...

asdf: No dobrze, a moglbys to wyjasnic troche jeszcze, bo jednak nie rozumiem do konca |A₁| wychodzi mi −−− 3* 6! Moje rozumowanie: mamy zafiksowana jedna kobiete, naprzeciw niej mozemy posadzic kobiety na 3 sposoby. Reszte osob permutujemy i mamy 6! Tak?

asdf: |A₁∩A₂| = 2 * 4! dwie mamy zafiksowane, naprzeeciwko ich mozemy posadzic 2 kobiety na 2 sposoby, reszta na 4! sposobow

asdf: Tylko mam problem z wyznaczeniem czesci wspolnej dla 3 kobiet i 4 Mógłby ktoś porpowiedzieć?

Pytający: Może żeby liczyć w ten sam sposób wszystkie przypadki ustalmy, że punktem odniesienia jest mężczyzna z pary nr 1. Zatem pozostałe 7 miejsc stanowią: • 1 miejsce naprzeciwko mężczyzny nr 1, • 3 pozostałe pary miejsc naprzeciwległych. Wtedy:

	3 1	3 1
•|A1|=			*2!*5!

3 1
	// dobór kobiety do pary (dla kobiety nr 1)

3 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych dla tych 2 kobiet

2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach 5! // rozmieszczeń pozostałych 5 osób (poza mężczyzną nr 1, kobietą nr 1 i kobietą na przeciwko niej) Twój wynik, czyli 3*6! jest taki sam.

	3 1		3 1	2 1		2 1	1 1
•|A1∩A2|=		*2!*5!+			*2!			*2!*3!

// kobiety nr 1 i 2 naprzeciwko siebie:

3 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych dla kobiet nr 1 i 2

2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach 5! // rozmieszczeń pozostałych 5 osób // lub kobiety nr 1 i 2 nie naprzeciwko siebie:

3 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych (dla kobiety nr 1)

2 1
	// wybór kobiety do pary dla kobiety nr 1 (spośród kobiet nr 3 i 4)

2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach

2 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych (dla kobiety nr 2)

1 1
	// wybór kobiety do pary dla kobiety nr 2 (kobieta nr 3 lub 4, ta która nie została

wcześniej wybrana) 2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach 3! // rozmieszczeń pozostałych 3 osób • dalej łatwo zauważyć, że |A₁∩A₂∩A₃|=|A₁∩A₂∩A₃∩A₄| // skoro 3 kobiety mają naprzeciwko siebie kobietę, to muszą być przynajmniej 2 pary kobiet naprzeciwległych (a są 4 kobiety, więc dokładnie 2 pary)

	3 1	3 1		2 1	2 2
|A1∩A2∩A3∩A4|=			*2!*			*2!*3!

3 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych (dla kobiety nr 1)

3 1
	// wybór kobiety do pary dla kobiety nr 1

2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach

2 1
	// wybór pary miejsc naprzeciwległych (dla 2 pozostałych kobiet)

2 2
	// wybór tych 2 kobiet (coby być konsekwentnym)

2! // rozmieszczeń tych kobiet na tych miejscach 3! // rozmieszczeń pozostałych 3 osób |Ω|−|A₁∪A₂∪A₃∪A₄|= =|Ω|−(4|A₁|−6|A₁∩A₂|+4|A₁∩A₂∩A₃|−|A₁∩A₂∩A₃∩A₄|)= =5040−(4*2160−6*1008+3*432)=1152 O ile nigdzie się nie machnąłem.

asdf: Serdeczne wielkie dzięki!