Zbadaj zbieżność szeregu toro11: Mam mały problem z tymi przykładami:

	π
1) ∑ 2nsin
	3n

	log n
2) ∑
	2n

	ln n
3) ∑
	n

grzest:

	π
1. ∑2nsin		.
	3n

Do zbadania zbieżności tego szeregu zastosuję kryterium Cauchy'ego. https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-podreczniki_view.php?mode=view&categId=4&handbookId=59&moduleId=487 lim_n→∞ⁿ√2ⁿsin π/3ⁿ = lim_n→∞2ⁿ√sinπ/3ⁿ =

	2
= limn→∞n√(sinπ/3n)/(π/3n) π/3n =		≤ 1.
	3

Szereg jest zbieżny.

Adamm: Trzeba uzasadnić lepiej tą ostatnią równość

grzest: Korzystałem tutaj ze znanego stwierdzenia, że lim_x→0{sinx}/x=1. Jeśli lim_x→0{sinx}/x=1, to tym bardziej i lim_x→0ⁿ√sinx/x →1. Chyba jasne jest również, że π/3ⁿ → 0 dla n→∞. Liczę również, że osoba która wstawiła te zadania ma pewien zasób inteligencji i ewentualne błędy lub niedociągnięcia w rozumowaniu samodzielnie poprawi.

toro11: Jasne, zrozumialem , dziekuje. Mam wątpliwość jeszcze odnośnie tego ze najpierw lim dążył do nieskończoności a nagle korzysta się z własności gdy lim dąży do 0

Adamm: π/3ⁿ dąży do 0

	sinx
limx→0		= 1 oznacza tyle, że dla dowolnego ciągu xn dążącego do 0, i którego
	x

	sin(xn)
wyrazy nie są zerem, mamy limn→∞		= 1
	xn

jak widzisz, wszystko jest w porządku

toro11: Dziekuje bardzo. Ma ktoś pomysł na dwa pozostałe zadania ?

Adamm: exponenta dąży do ∞ na tyle szybko, że log(n) ≤ (1,5)ⁿ przynajmniej od pewnego miejsca

log(n)		3
	≤(		)n
2n		4

i z kryterium porównawczego szereg jest zbieżny

Adamm:

ln(n)		1
	≥
n		n

więc szereg rozbieżny