Wyznaczyć granice korzystając z twierdzenia o trzech ciągach patrycja13: Wyznaczyć granice przy n→∞ korzystając z twierdzenia o trzech ciągach: 1) ⁿ√¹₂+²₃+...+ⁿ_n+1 2) n (¹_1+n²+...+¹_n+n²) 3) ¹_√1+¹_√2+...+¹_√n

Adamm: 1) 1 2) 1 3) ∞

patrycja13: Mogłabym wiedzieć przez jakie ciągi ograniczałeś z lewej i z prawej?

Bleee: W dwóch pierwszych: Największy z ulamkow (o największej wartości) ≤ a_n ≤ wszystkie ułamki zmieniasz na ten największy ulamek Trzecie natomiast − można się posiłkówac szeregiem 1/n

jc:

1		1		1		1		n
	+		+		+ ... +		≥		=√n→∞
√1		√2		√3		√n		√n

No chyba że tam jest coś innego (trudno odczytać).

patrycja13: @Bleee w pierwszym wszystko się zgadza, ale w drugim gdy robię tak jak mówisz i ograniczam z lewej przez ⁿ_1+n² a z prawej przez ⁿ²_1+n² to granica z lewej wychodzi 0 a z prawej 1.

jc: Czy możesz napisać (2) tak, aby coś można było zobaczyć? Użyj dużej litery U zamiast małej.

patrycja13:

	1		1
n(		+...+		)
	1+n2		n+n2

patrycja13: A moje rozumowanie:

	n
lewa:		−> 0
	1+n2

	n2
prawa:		−>1
	1+n2

Blee:

	1		1
n*		≤ suma tych piedółek ≤ n*( suma		)
	1+n2		1+n2

n		n2
	≤ suma tych pierdółek ≤
1+n2		1 + n2

...... granice .... 1 ≤ lim a_n ≤ 1

	1
Taka uwaga −−− używaj U (		) a nie u (1p{4x2) do zapisu ułamków
	√4x2

Blee: dobra ... źle napisałem szacujesz z dołu przez zamianę wszystkich na NAJMNIEJSZY ułamek i po sprawie

patrycja13: Dziękuję. Mam jeszcze dwa przykłady: 1)(2cosn−5)n²

	log2(2n+1)
2)
	log2(4n+1)

patrycja13: gdzie log2 to logarytm o podstawie 2

jc:

n2		n2
	≤ Twoja suma ≤
n2+n		n2+1

Po lewej stronie umieszczam najmniejszy wyraz pomnożony przez n, a po prawej największy wyraz pomnożony przez n.

Blee: 1) 2*(−1) − 5)n² ≤ a_n ≤ (2*1 − 5)n²

Blee: np. tak::

log2(2n)		log2(2n + 2n)
	≤ an ≤
log2(4n + 4n)		log2(4n)

patrycja13: Czy w 1) po obu stronach wyjdzie − ∞ ?

jc: Co to znaczy wyjdzie −∞? log₂ 2ⁿ⁺¹=(n+1) log₂ 4ⁿ = 2n iloraz = (n+1)/(2n) →1/2

jc: Chodziło o przykład z kosinusem? Tak, obie strony są będą "zbieżne" do −∞.

patrycja13: Tak, tak. Pięknie dziękuję.

patrycja13: Kolejny, aczkolwiek na szczęście już ostatni przykład:

[√2n]
n

Blee: [√2n] ma oznaczać część całkowitą

jc: [x] ≤ x < [x]+1 czyli x−1< [x] ≤ x Wykorzystaj ten fakt.

patrycja13: tak

patrycja13: jc, wynik powinien być √2? Czy mogę skorzystać z tw. o trzech ciągach jeżeli x−1<[x] a nie <=?

Blee: oczywiście, że możesz to, że 1 < 3 nie oznacza, że zapis 1 ≤ 3 jest nieprawidłowy

Blee: a lepiej (przy jakimkolwiek szacowaniu) używać słabej nierówności (czyli ≤, ≥) właśnie dlatego, aby nie mieć problemów z tym czy to aby na pewno nie może być (dla jakiegoś 'n') równość PS. Zauważ, że w 22:09 także to szacowanie mogłoby być zapisane przy pomocy < ... ale podałem '≤' żeby po prostu się 'nie zastanawiać' czy gdzieś tam (dla jakiegoś n) nie będzie równości

patrycja13: Super, rozumiem.

patrycja13: Dzieki i dobranoc