dowód julka.wawrzyniak: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych większych od 1, prawdziwa jest nierówność x³+7x>2x²+1

PW: Równoważnie: x³−2x²+7x>1 x(x²−2x+7)>1 Z założenia x>1, a więc dzielenie przez x obu stron daje nierówność równoważną

	1
(*) x2−2x+7>		.
	x

Funkcja kwadratowa po lewej stronie ma minimum równe

	−Δ		4−4•7
		= −		=−(1−7)=6.
	4•1		4

Prawa strona dla x>1:

	1
		<1.
	x

Wniosek: Lewa strona (*) jest co najmniej równa 6, a prawa strona jest mniejsza od 1. To kończy dowód.

Adamm: z AM−GM x³+6x≥2√6x² dodatkowo x>1 więc x³+7x>2√6x²+1