liczby zespolone Klaudia: Podaj elementy pierwiastka zespolonego w postaci algebraicznej ³√−8i

PW: Są to liczby u, dla których u³=−8i u³=(2i)³

	u
(		)3 = 1
	2i

	u
− i już wiadomo, liczby postaci		tworzą pierwiastek trzeciego stopnia z 1, znamy je.
	2i

Klaudia: Ja to probowalam zrobić z tego wzoru z pierwiastkami i wyszlo mi z=2(cos ^3/2π+2kπ₃+isin ^3/2+2kπ₃) i nie wiem co zrobić z tym dalej. A tego co napisales nie rozumiem

Mila: z=³√−8i |−8i|=8

	3π
α=
	2

	3π   +2kπ 2		3π   +2kπ 2
zk=3√8*( cos		+i sin		), k∊{0,1,2}
	3		3

	π		π
z0=2*(cos		+i sin		)=2*(0+i*(1))=2i
	2		2

	3π   +2π 2		3π   +2π 2
z1=2*( cos		+i sin		)=
	3		3

	7π		7π		√3		1
=2*(cos		+i sin		)=2*(−		−		*i)=−√3−i
	6		6		2		2

	3π   +4π 2		3π   +4π 2
z2=2*(( cos		+i sin		)=
	3		3

	11π		11π
=2*(cos		+i sin		)=√3−i
	6		6

============================= Metoda PW jest łatwiejsza i lepsza.

Klaudia: No nie wiem czy latwiejsza skoro nie wiem nawet jak sie za nia zabrać

Klaudia: Ale dziekuje za rozwiązanie, tyle mi tez już wszlo

Mila: Do jutra: dobranoc

PW: Dokończę to co wydawało sie oczywiste. Równanie z³=1 ma trzy rozwiązania, tworzą one zbiór zwany pierwiastkiem trzeciego stopnia z 1: {1, cos120°+isin120°, cos240°+isin240°}, a bez tej strasznej trygonometrii

	−1+i√3		−1−i√3
{1,		,		}
	2		2

Tak więc

	u		u		−1+i√3		u		−1−i√3
		= 1 lub		=		lub		=
	2i		2i		2		2i		2

− dokończ wyliczając u.