udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie asdf: Udowodnij, że odwzorowanie f : x = a + b√3 → x˜ = a − b√3 jest automorfizmem pierścienia (A, +, ·) w siebie. Jak to pokazać?

asdf: Zapomniałem dodać, że A = {x = a + b√3 : a, b ∈ Z}

jc: fof = id, czyli mamy bijekcję Zostaje do pokazania, że f(x+y)=f(x)+f(y) oraz f(xy)=f(x)f(y).

asdf: fof = id? Co to znaczy? Co do pokazania tych własności − x i y są ze zbioru A? To po co w takim razie jest nam prawa strona odwzorowania?

jc: f(f(a+b√3))=f(a−b√3)=a+b√3, czyli f(f(x))=x f((a+b√3)+(c+d√3))=f((a+c)+(b+d)√3)=(a+c)−(b+d)√3 f(a+b√3)+f(c+d√3)=(a−b√3)+(c−d√3)=(a+c)−(b+d)√3 czyli f(x+y)=f(x)+f(y) Jeszcze mnożenie ...

asdf: Niestety nie rozumiem, f(x+y)=f(x)+f(y) to nie jest po prostu tak: L = f((a+b√3) + (c+d√3))=(a+c)+(b+d)√3 P = f(a+b√3) + f(c+d√3)=(a+c)+(b+d)√3 L = P Skąd się te minusy tam pojawiają u Ciebie?

jc: Taką masz definicję: f(a+b√3)=a−b√3. To jest dobra definicja, bo zapis a+b√3 jest jednoznaczny. Gdyby a+b√3=a'+b'√3, to mielibyśmy a=a' i b=b'.

asdf: Rozumiem! A powiedz mi jeszcze f(f(a+b√3))=f(a−b√3)=a+b√3, czyli f(f(x))=x Co to pokazuje?

jc: To pokazuje, że funkcja jest bijekcją. Bez tego wiedzielibyśmy, że mamy homomorfizm, ale niekoniecznie izomorfizm.

asdf: A jak pokazać, że funkcja jest iniekcją lub suriekcją?

jc: Jeśli f(f(x))=x, to masz wszystko. f(x)=f(y) ⇒ x=f(f(x)) = f(f(y))=y, czyli funkcja jest różnowrtościowa y=f(f(y)), każdy element, jest obrazem. y jest obrazem f(y).

asdf: okej, dzięki