Ciągi Jakub: Udowodnić, że ciąg określony rekurencyjnie a₁=0 a₂=1 a_n=1/2 * (a_n−1+a_n−2) dla n >2, jest zbieżny do 2/3. są monotoniczne i zbieżne do tej samej granicy. Na razie zauważyłem, że a_n+1−a_n = (−1/2)ⁿ⁻¹ Chyba najłatwiej udowodnić to dzieląc ten ciąg na podciąg z indeksami parzystymi i nieparzystymi i obliczyć granicę dla każdego z nich, więc dla podciągu a_2n mamy: a_2n=1/2 * (a_2n−1+a_2n−2) Ale co dalej?

Blee: CO mają być monotoniczne i zbieżne do tej samej granicy

Jakub: ups nie dopisałem, podciągi z indeksami parzystymi i podciąg z indeksami nieparzystymi

Jakub: podciąg z indeksami parzystymi i podciąg z indeksami nieparzystymi *

Blee:

	1
r2 =		(r+1)
	2

2r² − r − 1 = 0 2(r−1)(r+0.5) = 0

	1
an = A*1n + B*(−		)n
	2

	1
a3 =
	2

	3
a4 =
	4

podstawiamy:

1
	= A*13 + B*(−0.5)3
2

3
	= A*14 + B*(−0.5)4
4

czyli:

1		B
	= A −
2		8

3		B
	= A +
4		16

4 = 8A − B 12 = 16A + B

	2		4
16 = 24A −> A =		−> B =
	3		3

wzór ogólny:

	2		4		1
an =		+		*(−		)n
	3		3		2

	2
lim an =
	3

monotoniczność podciągów i zbieżność do tej samej granicy też bardzo łatwo pokazać

Jakub: hymm, a czym jest r²=1/2(r+1) ?

Blee: równanie charakterystyczne ciągu rekurencyjnego jeżeli nie miałeś to metoda ta odpada

Jakub: Nie miałem niestety

Blee:

	2
my 'mamy dane', że ciąg an jest zbieżny do
	3

Jakub: Niestety nie możemy z tego korzystać

Blee: krok 1) a₁ = 0 a₂ = 1

	1
a3 =
	2

	3
a4 =
	4

	5
a5 =
	8

	9
a6 =
	16

zauważamy, że a₆ < a₄ < a₂ oraz a₅ > a₃ > a₁ dowód niewprost. Niech ∃_n a_2n−2 < a_2n4 ∧ a_2n > a_2n−2 rozpisujemy: a_2n−1 = a_2n−2/2 + a_2n−3/2

	3		1
a2n = a2n−1/2 + a2n−2/2 =		a2n−2 +		a2n−3 > a2n−2 ⇔
	4		4

	1		1
⇔		a2n−3 >		a2n−2 ⇔ a2n−3 > a2n−2
	4		4

i mamy: a_2n−2 = a_2n−3/2 + a_2n−4/2 > a_2n−2/2 + a_2n−4/2 ⇔ a_2n−2/2 > a_2n−4/2 sprzeczne z założeniem analogicznie robimy dla nieparzystych i masz monotoniczność następnie wykazujesz, że oba podciągi są ograniczone (mam nadzieję że sam sobie z tym poradzisz) powołujesz się na odpowiednie twierdzenie: ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny i zajmujemy się teraz granicą (znowu niewprost) niech: {a_2n} −> g {a_2n−1} −> k g ≠ k

	a2n−1		a2n−2
a2n =		+
	2		2

	k		g		g		k
g =		+		⇔		=		⇔ g = k
	2		2		2		2

sprzeczność c.n.w.

Blee: co do ograniczoności −−− wystarczy wykazać ograniczoność jednego z tych podciągów ... wtedy robiąc dowód (niewprost) równych granic wykazujemy, że drugi podciąg także musi być zbieżny i to do tej samej granicy

Jakub: Dziękuję

Jakub: Tylko jak właśnie wyliczyć granicę później tego ciągu

Blee: nie było podane, że masz ją wyznaczyć −−− przynajmniej ja tego w poleceniu nie widzę