ciągi Cauchy'ego a R kasia: Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi jak to się dzieje, ze liczby rzeczywiste opisujemy za pomocą ciagow Cauchy'ego? Czy ciąg wtedy musi być stały? Bardzo proszę o łopatologiczne wyjaśnienie.

Adamm: Możesz jaśniej? Najlepiej opisz sytuację w której się to pojawiło

Bleee: Ciąg Cauchiego to tak naprawdę nic innego jak ciąg zbieżne (posiadający skończona granice) i nie, nie musi to być ciąg stały.

kasia: Definiowalismy zbiory liczb naturalnych, calkowitych, wymiernych i doszlismy do liczb rzeczywistych. R:=C/r R liczby rzeczywiste C ciagi Cauchy'ego o wyrazach wymiernych r relacja A wiec zapis po prawej oznacza klasy abstrakcji ciagow Cauchy'ego wyznaczone przez relacje (?) i to jest jako def.liczb rzeczywistych. Nie rozumiem dlaczego. Tak jakby klasa ma odpowiadać jednej liczbie R ale przecież wtedy ciągi musiałyby być stale.

jc: W analizie często wychodzimy poza ułamki. Np. ciąg przybliżeń dziesiętnych √2 nie ma wymiernej granicy (w zbiorze liczb wymiernych nie jest zbieżny, choć wygląda jak zbieżny). Mówimy, że to ciąg Cauchyego (nie możemy powiedzieć, że dalekie wyrazy są bliskie granicy, bo granicy nie ma, ale możemy powiedzieć że dalekie wyrazy leżą blisko siebie). Liczby rzeczywiste możemy sobie zbudować jako klasy abstrakcji pewnej oczywistej relacji wśród ciągów Cauchyego liczb wymiernych.

Adamm: @Blee nie w każdej przestrzeni ciągi Cauchy'ego są zbieżne (!)

kasia: R są zbiorem wszystkich klas abstrakcji ciagow Cauchy'ego. (Z def) dlaczego?

kasia: Ale przecież ciąg to nieskończenie wiele wyrazów, wiec jak stworzyć klase jeśli wyrazy są różne?czy jakby wartość klasy odpowiada wartości granicy? Przepraszam jeśli to nie ma sensu ale staram się zrozumieć.

kasia: Tak tak, zrobiliśmy przykład z √2 i to rozumiem.

jc: 1/n, 1/2ⁿ, 7/(n²+1) to trzy ciągi zbieżne do zera. Wszystkie należą do tej samej klasy, a przecież żaden z nich nie jest stały. Jeśli istnieje granica wymierna, to klasa jest wyznaczone przez ciąg stały. W naszym przykładzie [1/n]=[0]. Dla nie wymiernych takich ciągów stałych oczywiście nie ma. ε>0, n > 2/ε ⇒ |1/n − 1/2ⁿ| < ε

Adamm: Wnioskuję że chcemy mieć po prostu jakieś uzupełnienie przestrzeni liczb wymiernych t. j., żeby ciągi Cauchy'ego były zbieżne

kasia: Okej. A wiec klasa odpowiada granicy, nie wyrazom, dlatego ciąg nie musi (ale może?) być stały.

kasia: A wiec do klasy [0]={(xn=0),(xn=1/n)} należą np te dwa ciągi?

jc: Możesz sobie wyobrazić przybliżenia dziesiętne liczb niewymiernych? Kolejne przybliżenia tworzą ciąg Cauchy'ego. Gdybyś wzięła inny ciąg przybliżeń miałabyś inny ciąg Cachy'ego. a_n, b_n dwa ciągi Cauchy'ego. Jeśli a_n − b_n →0, to powiemy że ciąg a_n jest w relacji z ciągiem b_n. Jest to relacja równoważności, a jej klasy możemy uznać za liczby rzeczywiste. Jeśli a_n →p, p −liczba wymierna, to klasę ciągu a_n utożsamiamy z liczbą wymierną p.

jc: x_n=0, y_n=1/n x_n ∊[0], y_n ∊[0] i wiele wiele więcej innych ciągów należy do [0].

kasia: Okej. Chyba rozumiem chociaż muszę się z tym jeszcze przespać. Ostatnie pytanie, czy ciągi stale możemy wrzucić do klas skoro się nie zbiegają ?

kasia: Juz mi odpowiedziales. Bardzo bardzo dziękuje za pomoc.

jc: Ciągi stałe zbiegają się najlepiej. Wszystkie wyrazy już stoją na granicy.