całka Korkor: Jak policzyć te całkę? m_k (t)=_−∞∫^∞x^k f_x (x,t) dx

	1		−(x−n)2
fx=		* e
	√2πδ		2δ2

	−(x−n)2
nie da się tego napisać poprawnie, ale eA , gdzie A=
	2δ2

jc: Czym jest t? Pomińmy t, które nie występuje po prawej stronie. Literę δ zastąpię literą d.

	1		(x−n)2
mk =		∫−∞∞ xk exp( −		) dx
	d √2π		2d2

Wprowadziłbym funkcję tworzącą

	mk		1		(x−n)2
m(t) = ∑		=		∫−∞∞ exp(−		+ xt) dt
	k!		d √2π		2d2

(x−n)² − 2d²xt = x²−2nx+n²−2d²xt = (x−n−d²t)² − d⁴t²−2nd²t m(t) = e ^{(d2t2 + 2nt)/2}=(1+d²/2 t² + t⁴d⁴/8+...)(1+nt + n²t²/2 + n³t³/6+...) Przy t^k znajdziesz m_k/k!. m₀=1 m₁=n m₂=n²/2 + d²/2 itd.

Korkor: Tylko nie bardzo rozumiem jak to policzyć. W sensie chodzi tutaj o całkę związaną poniekąd z fizyką. x to jakaś tam wartość a t − to czas. Nie bardzo potrafię sobie przypomnieć jaki to miało wtedy wpływ do liczenia jeśli jest fx(x,t). Nie mam pojęcia czy mam to liczyć całkami podwójnymi czy jak inaczej? Mam takie prowadzącego lekkiego ch... nikt z roku nie wie jak to zrobić (nie jest w ogóle związane z naszym kierunkiem), a trzeba to policzyć i nie bardzo wiem jak a nie chce tego też głupio przepisywać. Nie bardzo wiem dlaczego funkcja tworząca się pojawia (nie miałem nigdy tego zagadnienia)

jc:

	mk tk
Opuściłem t. Powinno być m(t)=∑		.
	k!

W jakim kontekście pojawiła się taka całka? m_k to momenty rozkładu Gaussowskiego. Spróbuj wyszukać pod takim hasłem. Gdzie potrzebne są wyższe momenty niż drugi?

Korkor: Żeby nie skłamać potrzebuję wyliczyć moment chyba 1 rzędu, ale tylko po to by móc wyliczyć dalej: moment centralny 3 i 4 rzędu, a co następuje potem współczynniki skośności i spłaszczenia. Masz jakieś źródła skąd można wziąć i policzyć to w przystępny sposób? Na matematyce w ogóle nie miałem prawdopodobieństwa i ogólnie te tematy wydają się być jak dla mnie dosyć ciężkie.

jc: Drugi moment nieco pomyliłem. Tam powinno być m₂/2! = ... a więc m₂=n²+d². Może dałoby by się znaleźć jakąś rekurencję? Ale jak brakuje Ci 3 i 4 momentu, to można porównywać współczynniki przy t³ i t³ lub odczytać wynik z angielskiej wikipedii.

jc: A może sam policzę? m₀ +m₁t + m₂t²/2 + m₃t³/6 + m₄t⁴/24 + ... =(1+d²t²/2 + t⁴d⁴/8+...)(1+nt + n²t²/2 + n³t³/6+n⁴t⁴/24+...) =1 + nt + (d²+n²)t²/2 + (n³ + 3nd²)t³/6 + (n⁴+6d²n²+3d⁴)/24 + ... Jeśli się nie pomyliłem, to mamy m₀=1 m₁=n m₂=d²+n² m₃=n³+3d²n m₄=n⁴+6d²n²+3d⁴ . . .

jc: Mamy wzór rekurencyjny na momenty. m₀ = 1, m₁ = n m_k+1 = n m_k + k d² m_k−1 Korzystając z tego wzoru łatwo wyliczysz początkowe momenty. m₂=n m₁ + 1 d² m₀ = n² + d² m₃=n m₂ + 2 d² m₁= ... m₄ = ...