Współczynniki dwumianowe - Udowodnij następującą własność Martino: Współczynniki dwumianowe, matematyka dyskretna

	n k		2n n
Udowodnij następującą własność: ∑ (n, k=0) *		2 =

Blee: A ten znak mnożenia to co niby ma oznaczać

Martino: Przypadkowo mi się tam wcisnął... tam oczywiście nie ma być żadnego znaku pomiędzy

jc: Wybierasz n elementów ze zbioru 2n elementowego podzielonego na dwa podzbiory po n elementów każdy. Wynik oczywisty (prawa strona), ale możesz podzielić wybory na takie, gdzie wybrałeś k elementów z pierwszego i nie wybrałeś k elementów z drugiego. k = 0, 1, 2, ..., n. (to zlicza suma po lewej stronie).

Martino: Próbuję coś z wielomianami, dwumianami Newtona, ale dalej nie moge sobie z tym poradzić...

jc: Przecież napisałem dowód. Wybieramy n elementowy podzbiór z sumy dwóch rozłącznych zbiorów n elementowych.

	2n n
Mamy		możliwości.

Wszystkie możliwości możemy podzielić na n+1 rozłącznych możliwości według liczby k elementów wybranych z pierwszego zbioru. Wtedy z drugiego zbioru wybieramy n−k elementów, co jest równoważne

	n k
opuszczeniu k elementów. Dla danego k mamy		2 możliwości.

Pod dodaniu otrzymujemy wszystkie możliwości, a przy okazji Twój wzór.

Krzysiek60: Masz dwa wyjscia pierwsze − meczyc sie samemu drugie − zadzwonic do Newtona niech wytlumaczy

jc: Inny sposób (1+x)ⁿ(1+x)ⁿ=(1+x)²ⁿ Policz n współczynnik przy xⁿ po lewej stronie i po prawej stronie zapisując wcześniej potęgę sumy przy pomocy symboli Newtona.