k-kombinacje z powtórzeniami Dede: ,,Znajdź wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy k−kombinacjami z powtórzeniami ze zbioru A oraz podziałami k nierozróżnialnych obiektów na kategorie etykietowane elementami A". Pomysły?...

Dede: Żadnych pomysłów?...

Dede: Nic?...

jc: Znów kategorie. Już kiedyś pytałem, co to kategoria, ale nie otrzymałem odpowiedzi. Spytam ponownie, co to jest kategoria? Jeśli chodzi o kombinacje z powtórzeniami, to w książce z 1986 autorzy napisali, że dawniej używano takich określeń. Czyżby tekst zadania pochodziła sprzed 1980 roku? Blisko 40 lat.

Tello: Nie wiem. Na pewno, tak jak Tobie, określenie definicji na podstawie materiałów dostępnych w Internecie sprawia mi kłopot.

PW: jc, kiedyś od pani piszącej pracę magisterską z pedagogiki usiłowałem dowiedzieć się co to jest "kafeteria". Pracę napisala, ale do końca nie odpowiedziała. Poszukałem w internecie i znalazłem taką oto "definicję": Decydując się na ankietę zawierającą pytania zamknięte lub półotwarte powinniśmy wiedzieć czym jest kafeteria. W uproszczeniu, to po prostu lista możliwych odpowiedzi, jakich respondent może udzielić na zadane pytanie. Rodzaj kafeterii możesz dobrać do swoich indywidualnych potrzeb. Ze względu na możliwość zaznaczenia jedynie jednej lub wielu odpowiedzi dzielimy je na dysjunktywne (pytania jednokrotnego wyboru) oraz koniunktywne, gdzie istnieje możliwość zaznaczenia kilku opcji. Śłiczne, nieprawda?

jc: Tak, patrzyłem, co to kategorie. Pojęcie wymyślone przez Arystotelesa, o ile dobrze pamiętam. Mamy chyba 9 kategorii, ale to chyba ma niewiele wspólnego z zadaniem. Dlatego pytam.

jc: PW, ślicznie dziękuję Kafeteria ? sklep z kawą dla odróżnienia od kawiarni.

Dede: Spostrzeżenia dotyczące początkowego pytania?

jc: Napisz to nie używając słowa kategoria i kombinacja. Może wszystko stanie się jasne.

Pytający: Jc, z tą kategorią to trochę tak, jakbyś przy treści mówiącej o rozdzielaniu skarpet do szuflad spytał "a co to jest szuflada?". Tu tak samo chodzi o pojemnik/wór/kontener do którego coś wrzucasz, w ten sposób kategoryzujesz. Definicji matematycznej raczej nie znajdziesz (podobnie jak szuflady). Może taka definicja jest nieco zbliżona: https://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria_systematyczna Jednak tam kategorie zdaje się mogą mieć podkategorie (rząd → rodzaj → gatunek), a w powyższym zadaniu intuicja mi podpowiada, że chodzi o przypisywanie obiektów każdy do jednej kategorii, gdzie te kategorie są rozłączne. Raz kategorię można utożsamiać z wyrazem ciągu, raz z elementem zbioru, innym razem ze zmienną w równaniu. Pojęcie nieścisłe, intuicyjne i definicji bym nie szukał. Co do zadania, właśnie nie do końca wiadomo, czegóż oczekują... Może tak, niech: |A|=n a_i // i−ty element zbioru A, 1≤i≤n (przyporządkowanie indeksów do elementów dowolne) P // podział k nierozróżnialnych obiektów na kategorie etykietowane elementami A x_i≥0 // liczność kategorii etykietowanej elementem a_i w podziale P, 1≤i≤n Wtedy oczywiście ∑_i=1ⁿx_i=k. Rozpatrzmy zatem taki multizbiór M o elementach z A, że krotność elementu a_i jest równa x_i. Ów multizbiór jest k−kombinacją z powtórzeniami ze zbioru A (i odpowiada on jednoznacznie podziałowi P, acz nie wiem, czy to tu pokazałem..., w drugą stronę podobnie, więc to wzajemna jednoznaczność). Czy tyle wystarczy − pojęcia nie mam. Zawsze miałem trudności z udowadnianiem oczywistości.

jc: Co to k−kombinacje z powtórzeniami ze zbioru A Co to podział k nierozróżnialnych obiektów na kategorie etykietowane elementami A, Czy czasem jedno i drugie to nie są funkcje ze zbioru k elementowego w zbiór A?

Pytający: 1. k−kombinacja z powtórzeniami ze zbioru A to k−elementowy multizbiór złożony z elementów ze zbioru A 2. Jeśli |A|=n, to można by to utożsamić z podziałem liczby k na sumę n całkowitych, nieujemnych składników z uwzględnieniem kolejności tychże składników. Wtedy każdy taki składnik odpowiada jakiejś kategorii. 3. Jak już to raczej funkcje f: A→{y∊ℤ: 0≤y≤k} takie, że ∑_a∊Af(a)=k. Chyba już widać, że niejedno podejście można zastosować (acz punkty 2 i 3 to praktycznie to samo).

jc: Pytający, czy mógłbyś zwykłym językiem powiedzieć, co to są te kombinacje?

jc: A={a,b,c,d} k=5 czy (a,a,b,a,c) to jest 5−kombinacja ze zbioru A?

Pytający: Nie jest, bo w (a,a,b,a,c) kolejność jest istotna. {a,a,b,a,c}, tylko to jest multizbiór, nie zbiór (kolejność elementów nieistotna, ale w odróżnieniu od zbioru dochodzi krotność elementów) https://en.wikipedia.org/wiki/Multiset

jc: Czyli tak, jak napisałeś w punkcie 3. Czy z tymi obiektami, to tak jak w zadaniu o malowaniu k nierozróżnialnych elementów kolorami ze zbioru A. Wczoraj było o tym zadanie na forum. Jeśli tak, to nie ma czego dowodzić. Każdemu kolorowi przypisujemy liczbę elementów tego koloru. Suma ma być równa k. −−− A wystarczyło użyć prostego języka ...

Pytający: Sęk w tym, że prostota nie dla każdego jest jednakowo zdefiniowana. Swoją drogą... czym jest kolor (czy też malowanie kolorem)? Jak dla mnie pytanie analogiczne do tego dotyczącego kategorii. I tu też nie oczekiwałbym ścisłej definicji.

jc: Kategoria nie jest jednak pojęciem z języka potocznego, a obawiam się, że w matematyce może mieć inne znaczenie. Kombinacje wyszły z mody (w żadnej z posiadanych przeze mnie 4 książek z kombinatoryki określeń tych nie ma). A kolory? Cóż występują w wielu twierdzeniach (bez trudu domyślamy się o co chodzi).