Kombinatoryka Tello: Hej, wytłumaczylibyście mi rozwiązanie? ,,Oblicz, na ile sposobów można przedstawić liczbę naturalną n w postaci sumy k dodatnich liczb naturalnych, jeśli rozróżniamy kolejność składników". Powinienem skorzystać ze wzoru:

n+k−1 k−1

Rozwiązanie: 10=a₁+a₂+a₃ n=7 r=3 n−k obiekty k kategorie

n−k+k−1 k−1		n−1 k−1
	=

Nie rozumiem wniosku z n−k. Ponadto w zeszycie znalazłem 4 wersje powyższego wzoru:

n+k−1 k		n−1+k n−1
	=

Po przeczytaniu analizy kombinatorycznej uznałem, że rozumiem (podział kresek i kółek). Gubię się w:

n−1+r n		n+r−1 r−1
	=

Dede: Proszę o pomoc... Żadnych pomysłów?

Tello: Nic?...

PW: Tworzysz jakiś chaos myśłowy. Masz rozwiązać równanie x₁+x₂+x₃=10, przy czym rozwiązania mają być dodatnimi liczbami naturalnymi. Wzór określający liczbę rozwiązań ma postać

	10−1 3−1		9 2
(1)		=		.

Uzasadnienie tego wzoru jest proste: w sumie 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10 mamy 10−1=9 znaków "+". dwa z nich zamieniamy ma ",", np. 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1 = 10 w wyniku czego otrzymujemy jedno z rozwiązań: (3, 4, 3).

	9 2
Ponieważ 2 miejsca na przecinki możemy wybrac na		sposobów, liczba rozwiązań wyraża się

wzorem (1). Gubisz się, bo chcesz mechanicznie podstawić do jakiegoś wzoru n i k

Tello: Doskonale wytłumaczyłeś rozwiązanie przykładu dla 10. Czy mógłbyś rozwinąć wytłumaczenie uogólnienia wzoru? Powinniśmy opierać się na n i k.

PW: Nic już nie trzeba tłumaczyć, po prostu uogólnienie. Liczba rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+...+x_k = n w liczbach naturalnych dodatnich wyraża się wzorem

	n−1 k−1
(*)		.

(mówiąc po cichu: jest (n−1) krzyżyków, wybieramy spośród nich (k−1) i zamieniamy je na przecinki). Niektórzy ten wzór zapisują inaczej, korzystając z faktu, że symbol Newtona ma wlasność

	m p		m m−p
		=		,

we wzorze (*) będzie to

	n−1 k−1		n−1 n−k
(**)		=		,

	9 2		9 7
mówiąc przykładowo zamiast		napisaliby		.