Matematyka dyskretna Kamil: Jeżeli liczba naturalna p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to √p jest liczba niewymierną. Pomocy, dowód nie wprost!

Leszek: Rozwaz dowod : niech p = n² to √p = √n² = n , n − liczba naturalna , wyciagnij wniosek !

Adamm: @Leszek dowód, ale chyba nie to co chcieliśmy udowodnić...

Adamm: równoważnie √p jest wymierna ⇒ p jest kwadratem liczby naturalnej

	m
√p =		dla m, n naturalnych, NWD(m, n) = 1
	n

pm² = n² n²|p, bo NWD(m, n) = 1 ale p|n² więc p = n²

Leszek: Kolego @Adamm moj wpis to tylko wskazowka , niech uczen sam przeprowadzi dokladnie dowod nie wprost ! !

Adamm: pomyliło mi się m i n zastąp

	m
√p =
	n

na

	n
√p =
	m

jc: Załóżmy, że p nie jest kwadratem liczby całkowitej. Wtedy √p nie jest liczbą całkowitą. Pokażemy, że √p jest liczbą niewymierną. Załóżmy, że √p jest liczbą wymierną. Niech n będzie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, taką, że n√p jest liczbą całkowitą. Dalej, niech k będzie najmniejszą liczbą całkowitą taką, że √p < k. m=n(k−√p) jest dodatnią liczbą całkowitą. m √p = k n√p − np jest liczbą całkowitą Sprzeczność bo m < n, a n miało być najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą która pomnożona przez √p daje liczbę całkowitą. Zatem √p jest liczbą niewymierną.