Zbadaj czy ciąg jest monotoniczny Marcin : Zbadaj, czy ciągi o podanych wzorach ogólnych są monotoniczne: a) ^n+sin(n)_2n Tutaj rozumiem, że trzeba sprawdzić (n+1)−n. Czyli ^{(n+1)+sin(n+1)}_2(n+1) − ^n+sin(n)_2n Ale nie wiem jak mam to dalej rozpisać. b) nlog(1+ ¹_n) tu nie mam już zielonego pojęcia jak to rozpisać

Blee: ze względu na to, że sin(n) jest funkcją okresową to ciąg a_n nie będzie monotoniczny

Inka : b) nie wiem czy dobrze podpowiadam ale

	1		1
nlog(1+		)= log(1+		)n= loge
	n		n

Inka : = log e oczywiscie

Blee: ostatnie '=' jest przybliżeniem lim_n−>∞ log( (1+ 1/n)ⁿ) = log e <−−− okey ... ale bez granicy nie jest to tylko przybliżenie

Blee: ale to i tak nic nie daje

Inka : Dlaczego ? A to nie bedzie ciag staly?

ICSP:

	1		1
(1 −		)n ≥ 1 −		− nierówność Bernouliego.
	n2		n

Skąd

	1		1		1
(1 +		)n ≥ (1 −		)1 − n = (1 +		}n − 1
	n		n		n − 1

co oznacza, ze ciąg

	1
(1 +		)n
	n

jest ciągiem rosnącym. Dalej wystarczy powołać się na monotoniczność funkcji f(x) = log(x)

Adamm: log((1+1/n)ⁿ) jest rosnący, bo (1+1/n)ⁿ jest rosnący

ICSP: Blee a czy taki ciąg :

	sin(n)
an = n2 +
	2n

również nie będzie monotoniczny ?

Adamm: a₄>a₅<a₆

	n+sin(n)
więc an=		, nie jest monotoniczny
	2n