grupy grupy: Dana jest grupa G rzedu 20, jej podgrupa H oraz elementy a,b∈H takie, ze ord(a)=10 i ord(b)=4. Udowodnic, ze G=H. |G|=20 ord(a)=10, gdy a¹⁰=e ord(b)=4, gdy b⁴=e Wiec a¹⁰=b⁴ A jak dalej?

Adamm: rzG = 20 H<G a, b∊H rz(a) = 10, rz(b) = 4 10|rzH ∧ 4|rzH ⇒ 20|rzH rzH|rzG ∧ 20|rzH ⇒ rzH = 20 ⇒ H=G

grupy: Dziekuje. Czyli z tw. Lagrange'a.

grupy: 2. O elementach a,b grupy G wiadomo, ze rz(a)=3 i rz(b)=7. Udowodnic, ze a⁵b⁵≠e. Z def. rzedu elementu grupy mam a³=e oraz b⁷=e, wiec a³=b⁷. Tutaj tw. Lagrange'a chyba sie nie zastosuje.

jc: Załóżmy, że a⁵b⁵=e. a⁵=a⁵ b⁷ = (a⁵b⁵)b² b² e=(a⁵)³=b⁶=b Sprzeczność, bo dopiero b⁵=e.

Adamm: załóżmy że a⁵b⁵ = e a⁵ = b⁻⁵ a² = b² a² ∊ <a>, b² ∊ <b> skoro rz(a) = 3, to a² ≠ e, więc rz(a²) ≠ 1, więc rz(a²) = 3 (bo musi dzielić rz(a)) podobnie dochodzimy do wniosku, że rz(b²) = 7 skoro mają inne rzędy, to nie mogą być równe otrzymana sprzeczność, dowodzi że a⁵b⁵ ≠ e

jc: Jeszcze raz bez usterek. a⁵=a⁵ b⁷ = (a⁵ b⁵) b² = b² Stąd e=(a⁵)³=b⁶ i b=e.

grupy: Jak mam a⁵=b⁻⁵ i pozniej a²=b² to skad sie to bierze?

jc: a² = a² a³ = a⁵ = (a⁵ b⁵) b² = b²

Adamm: a⁵ = a³a² = a² b⁻⁵ = b⁻⁷b² = b²

grupy: Czyli jak mam podane a³=e i b⁷=e to wiem tez, ze a⁻³=e i b⁻⁷=e ?