Liczby zespolone
Omikron:
Piszę z kolejnym problematycznym zadaniem.
Zad. Niech z1, z2, z3 będą takimi liczbami zespolonymi, że zachodzi:
z1 + z2 + z3 = z1 * z2 + z1 * z3 + z2 * z3 = 0
Pokazać, że wówczas |z1| = |z2| = |z3|.
Jedyne co przychodzi mi do głowy to zapisanie z1 = a + bi, z2 = c + di, z3 = e + fi, ale w
ten sposób pakuję się w złożone przekształcenia i nie wiem nawet czy uda się dotrzeć do tezy.
Ma ktoś może inny pomysł?
1 lis 21:59
Adamm:
(z−z1)(z−z2)(z−z3) = 0
z3−(z1+z2+z3)z2+(z1z2+z1z3+z2z3)z−z1z2z3 = 0
z3 = z1z2z3
z13 = z1z2z3
z23 = z1z2z3
z33 = z1z2z3
|z1z2z3| = 0 lub |z1| = |z2| = |z3|
1 lis 22:13
Adamm:
sorry
|z1z2z3| = |z1|3 = |z2|3 = |z3|3
skąd od razu mamy wynik
1 lis 22:15
Omikron: Niezbyt rozumiem
1 lis 22:27
Adamm: ok, czego
1 lis 22:28
jc: Rozważasz wielomian
f(x)=(x−z1)(x−z2)(x−z3)=x3−z1z2z3
Dalej podstawiasz z=z1, itd. i wyciągasz wnioski.
1 lis 22:30
jc: Poprawka, x=z1 itd.
1 lis 22:31
Omikron: W zasadzie już samego początku. Zapisałeś jakieś równanie, ale nie widzę jak ono wynika z
założenia. I dlaczego później z zmieniasz nagle na z1, z2, z3 po kolei?
1 lis 22:33
jc: Zakładamy, że z1+z2+z2=0 oraz z1z2+z2z3+z3z1=0.
Wtedy
f(x)=(x−z1)(x−z2)(x−z3)=x3−(z1+z2+z2)x2+(z1z2+z2z3+z3z1)x−z1z2z3
=x3−z1z2z3
Teraz podstawiamy x=z1.
0=f(z1)=z13−z1z2z3
czyli
z13=z1z2z3
Podobnie
z23=z1z2z3
z33=z1z2z3
Zatem z13=z23=z33.
Wynika stąd równość modułów.
1 lis 22:41
Omikron: Teraz już wszystko jasne, dziękuję
1 lis 22:43