Zbadaj właściwości relacji lllll: Zbadaj właściwości relacji J = {<a,b>∊ℕ²:∃k∊ℕ:b=k*a+1} zwrotność przeciwzwrotność symetryczność przeciwsymetryczność antysymetryczność przechodniość

Adamm: 0∊N ?

lllll: Tak

iteRacj@: a,b,k∊N 1/ zwrotność odpowiedz na pytanie, czy dla każdej liczby naturalnej a istnieje taka liczba naturalna k żeby a=k*a+1 czyli a(1−k)=1 2/ symetryczność odpowiedz na pytanie, czy dla każdej liczby naturalnej z tego że b=k*a+1 wynika a=k*b+1

lllll: w takim razie − jest zwrotna − nie jest symetryczna (?)

iteRacj@: 1/ zwrotność a=k*a+1 czyli a(1−k)=1 niech a będzie równe np. 7

	1		1
czy istnieje taka liczba naturalna k, żeby 7(1−k)=1 czyli 7=		=		stąd 1−k=1/7?
	1/7		1−k

nie istnieje wiec relacja nie jest zwrotna

iteRacj@: 1/ zwrotność z tego przykładu z 7 widać, że istnieje przynajmniej jedna liczba naturalna, dla której własność a=k*a+1 nie zachodzi, to wystarczy żeby relacja nie była zwrotna 2/ teraz pytanie o przeciwzwrotność czy w takim razie a=k*a+1 nie jest prawdą dla każdej liczby naturalnej? dla a=1 mamy 1(1−k)=1 1−k=1 ⇒ k=0 czyli istnieje takie k a więc istnieje taka liczba naturalna że jest to prawda relacja nie jest przeciwzwrotna

i: Czy reszta jest dobrze rozwiązana? 3) symetryczność NIE bo ¬(aJb ⇒ bJa) np. dla <1,1> 4) przeciwsymetryczność NIE bo ¬(aJb ⇒ ¬bJa) np. dla <2,1> 5) antysymetryczność NIE bo ¬(aJb ∧ bJa ⇒ a=b) np. dla <2,1> 6) przechodniość NIE bo ¬(aJb ∧ bJc ⇒ aJc) np. dla a=0, b=1, c=2 7) liniowość NIE bo ¬(aJb v bJa) np. dla <5,3>

i: ktokolwiek?

iteRacj@: 3) symetryczność NIE Z definicji symetryczności (i pozostałych własności relacji) wynika, że każda para należąca do relacji musi spełniać warunek aJb ⇒ bJa. Żeby wykazać, że relacja nie jest symetryczna, wystarczy wskazać jedną parę nie spełniającą tego warunku. Przykład źle dobrany, akurat dla <1,1> 1J1 ⇒ 1J1 1=0*1+1, szukamy innej pary. Istnieje para niespełniająca warunku (aJb ⇒ bJa) np. ¬(3J7⇒7J3), więc relacja nie jest symetryczna. 4) przeciwsymetryczność NIE Istnieje para niespełniająca warunku (aJb ⇒ ¬bJa) np. ¬(2J1 ⇒ ¬1J2), więc relacja nie jest przeciwsymetryczna. 5) antysymetryczność NIE Istnieje para niespełniająca warunku (aJb ∧ bJa ⇒ a=b) np. ¬(2J1 ∧ 1J2 ⇒ 2=1), więc relacja nie jest antysymetryczna. 6) przechodniość NIE Istnieją pary niespełniające warunku (aJb ∧ bJc ⇒ aJc) np. ¬(0J1 ∧ 1J2 ⇒ 0J2), więc relacja nie jest przechodnia. 7) spójność NIE Istnieje para niespełniająca warunku (aJb v bJa) np. ¬(5J3 v 3J5), więc relacja nie jest spójna. Jeżeli ta relacja nie jest spójna, to nie jest porządkiem liniowym na ℕ².

Pawel: Up. Co się dzieje z "k" w Twoim rozwiązaniu iteRacj?

ite: Jeśli mam parę liczb a i b, to sprawdzam tylko, czy można znaleźć liczbę naturalną k żeby b=k*a+1. Jeżeli znajdę taką liczbę (k), wiem, że para uporządkowana (a,b) należy do relacji J. Jak sprawdzę (20:21), że nie da się znaleźć liczby naturalnej, spełniającej równanie, to wiadomo, że dana para liczb do relacji nie należy. Nie muszę podawać k, muszę jedynie widzieć, czy spełniony jest warunek ∃k∊ℕ:b=k*a+1.