grupy grupy: Zalozmy, ze xy=yx, ord(x)=2 i ord(y)=5. Udowodnic, ze ord(xy)=10.

Adamm: gdyby dla 0<k≤10 było (xy)^k = e to x^k = y^−k ord(x^k) = ord(y^−k) ale ord(x^k)∊{1, 2}, ord(y^−k)∊{1, 5}, skąd ord(x^k) = ord(y^−k) = 1 ale to by oznaczało że 10|k zatem musi być k=10

Adamm: bo ord(x^k) = 1 ⇔ x^k = e ⇔ 2|k ord(y^−k) = 1 ⇔ y^−k = e ⇔ y^k = e ⇔ 5|k 2|k i 5|k, to 10|k

Adamm: albo tak (xy)¹⁰ = e gdyby ord(xy) = k, to k|10 skąd k=2 lub k=5 ale (xy)² = y² ≠ e (xy)⁵ = x ≠ e

Adamm: zapomniałem o 2 dzielnikach lub k=10 (i tak oczywiście jest) lub k=1 i gdyby k=1, to x=y⁻¹, rzędy się nie zgadzają