Kilka zadań z algebry ogólnej. :) xxx: Siemka, mógłby ktoś pomóc z kilkoma zadaniami? 1.Niech A i B będą podgrupami grupy G. Uzasadnij, że A u B ≤ G ⇔ (A ⊆ B lub B ⊆ A ) 2.Niech A i B będą skończonymi podgrupami grupy G o względnie pierwszych rzędach. Pokazać, że wówczas A ∩ B = {e} 3.Niech p będzie liczbą pierwszą i niech A i B będą różnymi podgrupami rzędu p grupy G. Pokazać, że wtedy A ∩ B = {e}

Adamm: A∩B jest podgrupą A, B więc ma rząd będący dzielnikiem jednej z nich. Skąd to grupa 1 elementowa

Adamm: 3. Rząd tej grupy musi być 1 lub p, p nie może być, bo wtedy A∩B=A=B

Adamm: x∊A, y∊B, to xy∊A lub xy∊B Jeśli xy∊A, to y∊A Czyli dowolne 2 elementy należą do jednego z nich. Skąd teza

xxx: Mógłbyś rozpisać to bardziej czytelnie i zrozumiale? bo nie rozumiem Będę wdzięczny

Adamm: Czego nie rozumiesz?

xxx: odpowiedź do zadania 1 i 2.

math: od którego zadania chcesz zacząć wybierz: 1, 2 alb 3: krok po kroku bez podawania gotowców naprowadzę Cię na rozwiązanie

xxx: Zadanie 2

math: #2 |A|=p i |B|=q gdzie p,q− rzędy grup dla odpowednio A i B; co to znaczy że te rzędy grup są względnie pierwsze? [ + wskazówka −> Tw Lagrange'a]

math: https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup) dla ułatwienia −> wnioski daj znać czy coś już świta

xxx: Tak jezeli grupa ma np rzad 6 to podgrupy moga miec rzad 1 2 3 6 wiec jezeli wezmiemy podgrupe rzedu 2 i 3 wiec tylko element e tutaj pasuje ?

math: patrzenie na konkretne przypadki może czasem pomóc ale może też wprowadzić w błąd zamiast dać jakąś intuicję; bardziej ogólnie co to znaczy że p i q są względnie pierwsze −? −> defincja −> jakie mają rozkłady? jak można to zastosować do tego zadania? jak wniosek o rzędach elementów tych podgrup i co może jedynie być przekrojem? think napisz swoje przemyślenia, sprecyzuj odpowiedź lun pokaż tok rozumowania

math: w formalnym dowodzie może zastosuj dowód nie wprost?

Adamm: d|p, d|q ⇒ d=1 Z definicji

math: masz już pomysł na dowód? czy trzeba jeszcze trochę popchnąć Cię do działania?

Adamm: W pierwszym, załóż że istnieje element z A, który nie należy do B To wtedy dowolny inny należy do części wspólnej Czyli do A należą wszystkie, stąd A∪B⊂A

math: po mału... jak zrobimy #2 to i za #1 się zabierzemy − tam dwa dowody można zrobić ⇒ i w ←

xxx: Nie wiem jak to rozpisac...

xxx: Jak to udowodnić....

xxx: rzedy podgrup sa wzglednie pierwsze i jak wiadomo przekrojem ich moze byc tylko podgrupa skladajaca sie z elementu neutralnego. nic wiecej. ale wlasnie nie wiem jak to udowodnic formalnie rozumiem co napisaliscie, i dziekuje slicznie ....

Adamm: A∩B < A ∧ A∩B < B ⇒ rz(A∩B)|rz(A) ∧ rz(A∩B)|rz(B) ale największy wspólny dzielnik rz(A) i rz(B), to 1 skąd rz(A∩B) = 1 rozumiesz?

math: robiles juz dowody matematyczne? 2.Niech A i B będą skończonymi podgrupami grupy Go względnie pierwszych rzędach. Pokazać, że wówczas A ∩ B = {e} dowód nie wprost.[ zakładamy że... "założenia" i ⇒ zaprzeczenie. −> idea ? dowodząc do sprzeczności pokażemy że dana sytuacja zajść nie może −> lub dojdziemy do wniosków przydatnych w dowodzie; patrz kiedy implikacja jest fałszywa −> jeden przypadek (prawda⇒fałsz) Przyuśćmy nie wprost, // Niech A i B będą skończonymi podgrupami grupy Go względnie pierwszych rzędach. // wówczas A ∩ B ≠ {e}. I teraz cz. główna dowodu, skoro częścią wspólną nie jest jedynie {e} to istnieje taki element który jest w obydwu grupach i jest różny od e; tutaj wkracza tw lagrange'a, że każdy element grupy dzieli rząd grupy, teraz skoro tak, to rząd tego elementu dzieli zarówno |A| jak i |B|, zatem może być #1 rząd elementu jest równy 1, tutaj z tw lagrangea jedyna możliwość to element e, ale ten element mał być różny od e −− przypadek odpada− #2 rząd elementu jest ≠1 −> jest liczbą złożoną => sprzeczność z założeniami z względną pierwszością |A| jak i |B| stąd taka sytuacja zajść nie może, więc A∩B={e} mniej więcej tak to pownno byglądać.. może jeszcze ktoś rzucić okiem ale chyba jest ok

xxx: rozumiem dzieki . zadanie 3 idzie tak samo tylko tam mozna wziac p i 1 ale przy p dojdziemy do sprzecznosci?

math: podobnie tzn. znów tw. lagrange'a patrz na te iloczyny, skoro p jest liczbą pierwszą i grupa ma rząd p to jakie ma rozkłady... pzdr

Adamm: z punktu A do punktu B, czy na księżyc i z powrotem

math: ?ADamm coś nie tak? wprowadzam w błąd? jeśli tak to wskaż gdzie

Adamm: ¿ ? ¿ ?