pokaz ze ciag jest zbiezny i oblicz jego granice asdf: a₁ = 2

	1		1
an+1 =		* (an +		)
	2		an + 1

Jak to rozwiązać?

Blee:

	1		1
g =		(g +		)
	2		g+1

	1
2g = g +
	g+1

g² + g − 1 = 0 g = (√5 − 1)/2

milo: jeszcze tylko zbadanie monotoniczności tego że jest ograniczony

Blee: ograniczoność bardzo łatwo ... ale sam ciąg raczej monotoniczny nie jest

Adamm:

	1
f(x) =		(x+1/(x+1))
	2

f'(x)≥0 dla x≥0 zauważmy że 1/2<a₃<1 f([1/2, 1])⊂[1/2, 1]

	1		xy+x+y		2
|f(x)−f(y)| =		|x−y|(		) ≤		|x−y|
	2		(x+1)(y+1)		3

z tw. Banacha o punkcie stałym, a_n jest zbieżny granicą jest rozwiązanie f(x)=x dla x∊[1/2, 1]

jc: Ostatnia nierówność oznacza, że

	2
|an+1 − g| ≤		|an − g|
	3

a więc ciąg jest niezwykle szybko zbieżny.