Dowodzenie przez indukcję. Równanie rekurencyjne Ania: Hej. Mam problem z tym zadaniem. Nie wiem jak się za nie w ogóle zabrać : Dany jest ciąg określony następującym równaniem rekurencyjnym: a₀ = 2 a₁ = 5 a_n = 5a_n−1 − 6a_n−2 : n >= 2 Udowodnij przez indukcję, że a_n = 2ⁿ + 3ⁿ dla wszystkich n ∊ N. Będę wdzięczna za każdą pomoc

milo: sprawdz dla n = 2; , założenie że jest prawdziwe dla n, pokażemy że jest prawdziwe dla n+1; − teza; i do dzieła

milo: masz dwa wzory na a_n

milo: przepraszam źle przeczytałem.... masz udowodnić 2. wzór dla wszystkich n∊ N; dkoro dla wszystkich − nie wiem czy uwzględniasz n=0 ale chyba tak; to: dla n=0: a_n=a₀ = 2 ==== 2⁰+3⁰ = 2 ok L ===P teraz założenie że wzór jest prawdziwy dla n; pokażemy że jest prawdziwy dla n+1 − teza

milo: czyli: założenie: a_n=2ⁿ+3ⁿ; pokażemy że aⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹ czyli że aⁿ⁺¹=5a_n − 6a_n−1 = 2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹. Dowód: aⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2 + 3ⁿ*3 = (2ⁿ*5 − 2ⁿ*3)

milo: −−−sorry za szybko enter... Dowód: *[2 = 5−3] // [3 =5 − 2 ] a_n+1 = 2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2 + 3ⁿ*3 = (2ⁿ*5 − 2ⁿ*3) + (3ⁿ*5 − 3ⁿ*2)= = 2ⁿ*5 + 3ⁿ*5 − 2ⁿ*3 − 3ⁿ*2 = 5(2ⁿ + 3ⁿ) − 2ⁿ⁻¹*2*3 − 3ⁿ⁻¹*3*2 = = 5(2ⁿ + 3ⁿ) − 6(2ⁿ⁻¹ + 3ⁿ⁻¹) = 5{a_n} − 6{a_n−1} co było do udowodnienia; wzór jest prawdziwy dla n=0 i pokazaliśmy że dla dowolnego n∊N zachodzi prawdziwość wzoru dla n+1, stąd na mocy indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego n∊N cbdo itd.

Ania: Dziękuję bardzo teraz rozumiem