Dowód podzielności pawelmatematyk: Udowodnij, że: 2⁴ⁿ+5 jest podzielne przez 21 Jak się za to zabrać, indukcyjnie ? Da się jakoś rozpisać: 2⁴ⁿ⁺¹= 2⁴ⁿ * X ?

Adamm: bez indukcji dla n≥1 φ(21) = 12 4ⁿ ≡ 0 (mod 4) 4ⁿ ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4ⁿ ≡ 4 (mod 12) z tw. Eulera 2⁴ⁿ+5 ≡ 2⁴+5 = 21 ≡ 0 (mod 21)

pawelmatematyk: 4ⁿ≡0 (mod 4) −> okej zgadzam się 4ⁿ≡1 (mod 3) −> rozumiem ze to sprawdzamy na zasadzie 4¹≡1(mod 3), 4²≡1(mod 3) − > reszty się powtarzają dlatego cały czas będzie reszta 1 4ⁿ≡4 (mod 12) − > analogicznie jak w przypadku modulo 3? Rozumiem, że φ(21) = 12 i a^φ(n)≡1(mod n), ale dlaczego akurat wybieramy to: 4ⁿ ≡ 4(mod 12) ?

Adamm: Nie, nie, nie 4ⁿ ≡ 1 (mod 3), bo 4 ≡ 1 (mod 3) kongruencje możemy potęgować stronami Skoro 4ⁿ ≡ 0 (mod 4), to 4ⁿ musi przystawać 0, 4 lub 8 (mod 12) ale ta reszta musi również przystawać 1 (mod 3) czyli musi to być 4 (innych nie sprawdzamy, patrz chińskie twierdzenie o liczbach) stąd 4ⁿ ≡ 4 (mod 12) twierdzenie Eulera możemy zastosować wielokrotnie 2⁴ⁿ ≡ 2^{4n mod φ(21)} = 2⁴ (mod 21)

pawelmatematyk: Prawie wszystko już rozumiem Ostatnie pytanie brzmi, czemu 4ⁿ musi przystawać do 0, 4, 8 (mod 12) ?

Adamm: jakiej postaci są liczby ≡ 0 (mod 4) ? 12k, 12k+4, albo 12k+8 dla jakiejś liczby całkowitej k

jc: Krok indukcji po szkolnemu. Założenie: 2⁴ⁿ+5=21k. 2⁴ⁿ⁺¹+5=(2⁴ⁿ)⁴+5=(21k−5)⁴+5=21t + 5⁴+5 = 21(t+30)

pawelmatematyk: Adamm, wszystko rozumiem już z Twojego rozwiązania, ale analizując odpowiedź jc zastanawiam się t=?

Adamm: zbyt dużo pisania by jc się chciało to napisać a i tak nic z tego nie wynika

pawelmatematyk: Tak czy siak dzięki za pomoc

jc: Pomyśl o wzorze na potęgę sumy.

jc: Adamm, jak to nie wynika? Z twierdzenia nr n wynika twierdzenie nr n+1. A zobaczmy, jak wygląda twierdzenie nr 1. 2⁴¹+5=21. A więc wszystko jest, jak trzeba.

Adamm: Nauka nie wynika

jc: Właściwie sytuacja jest następująca. 21| a ⇒ 21 | (a−5)⁴+5 W zadaniu masz ciąg a₁=21, a_n+1=(a_n−5)⁴+5.

Niewiem: Skad sie wzielo to t u jc?