pokaz ze ciag jest zbiezny o oblicz jego granice asdf: a₁ = ¹₄ a_n = ¹₄ + ¹₂ * a_n² JAk to zrobić?

Adamm: przepisać poprawnie

asdf:

	1
a1 =
	4

	1		1
an+1 =		+		* an2
	4		2

powinno byc ok.

Adamm: f(x) = x²/2+1/4 zauważmy że f([0, 3/4])⊂[0, 3/4] |f(x)−f(y)|=(1/2)|(x−y)(x+y)|≤(3/4)|x−y| f jest więc kontrakcją na przestrzeni zupełnej z tw. Banacha a_n → g∊[0, 3/4] gdzie g to rozwiązanie f(g)=g

Adamm:

	1
g = 1−
	√2

asdf: Pewnie masz racje. Jednak chciałbym, żeby przedstawić to w jakiś prostszy sposób. Jak pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony? Cos takiego kojarze z ćwiczeń. Indukcją się coś tam robiło potem, jednak sam nie wiem nawet jak zacząć. wypisałem pierwsze 2 wyrazy i widac ze ciąg rośnie, ale jak to formalnie udowodnic to nie mam pojęcia

Adamm: naucz się topologii https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Banacha_o_kontrakcji