Zbieżność szeregu Csitx: Zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego

	2n+100
∑(−1)n (		)n
	3n+1

mat:

	2n+100
Sprawdź czy (		)n dąży do 0. To wystarczy
	3n+1

jc: Nawet bez tego (−1)ⁿ szereg jest zbieżny (kryterium Cauchyego).

mat: tez prawda

Adamm: no, nie wystarczy samo dążenie do 0 nic nam nie daje

mat: wystarczy, dlatego, ze mamy twierdzenie: jeżeli a_n→0, to ∑(−1)ⁿ a_n zbiezny

Adamm: nie ma takiego twierdzenia

jc: Nie wystarczy, spójrz na przykład

	1+(−1)n		1−(−1)n
∑ (−1)n (		+		)
	2n		n

jc: A nawet prostszy przykład

	1+(−1)n
∑ (−1)n
	n

mat: tak, umknęło mi, że a_n ma być malejący od pewnego miejsca zamiast to po prostu napisać, jestes po porstu złosliwy tak to odbieram

mat: ale ja wiem o tym jc, po prostu mi to umknęlo

Adamm: złośliwy? ja? Nie...

jc: Nie takie rzeczy umykają, nie mówiąc o zwykłych błędach rachunkowych Przy okazji, mamy wersję ogólniejszą, z której wynika choćby zbieżność szeregu

	sin n
∑
	n

mat: Po prostu widac na oko ze ciąg będzie malejacy (chocby od pewnego miejsca), dlatego napisalem, ze wsytarczy sprawdzic, ze a_n→0, chociaz oczywiscie masz racje monotonicznosc tez nalezy pokazac

jc: W zadaniu łatwo było sprawdzić, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, a więc zbieżny.

mat: tak, najprosciej będzie tak jak jc, przez kryterium Cauchy'ego

mat:

2(n+1)+100		2n+100
	≤
3(n+1)+1		3n+1

(2n+102)(3n+1)≤(2n+100)(3n+4) zawsze

	2n+100
zatem jeżeli tylko ułamek		zacznie być mniejszy niż 1 (n>99) to i z potęgą
	3n+1

będzie ok