Przestrzenie wektorowe simon5005: Polecenie: Sprawdzić, czy zbiór W jest podprzestrzenią przestrzeni (R³, +, R, ·), gdzie: a) W = {(x, y, z) ∈ R³: xz = 0}, b) W = {(x, y, z) ∈ R³: y ≠ 0}, Znam definicję, że ∀α,β ∊ R i ∀w1,w2 ∊ W αw1 + βw2 ∊ W, więc proszę mnie do niej nie odsyłać, tyle, że nie wiem w jaki sposób ją odpowiednio zastosować w praktyce. a) Czy można to zrobić w ten sposób, że wybieram sobie dwa wektory w i v: w1 = (0,y1,z1), w2 = (x2,y2,0), czyli spełniają xz = 0. Potem mnożę razy α i β odpowiednie wektory i dostaję: W = (α*y1 +α*z1) + (β*x2 +β*y2) = (βx2; αy1+βy2; αz1) (Tylko co z tego ostatecznie wynika?) Proszę o sprawdzenie czy takie rozwiązanie jest w jakimś stopniu poprawne, a jeśli nie, to prosiłbym o instrukcje jak postępować, w tego typu zadaniach.

Adamm: a) W = {(0, x, y): x, y∊R}∪{(x, y, 0): x, y∊R} W nie jest podprzestrzenią, bo (1, 0, 0)+(0, 1, 1) = (1, 1, 1) nie należy do W

Adamm: b) (1, 1, 1)+(−1, −1, −1) = 0 nie należy do W

simon5005: Czyli w tych zadaniach nie trzeba aż tak bardzo kombinować z rozpisywaniem tak jak ja z definicji, tylko po prostu znaleźć jeden przypadek (z odpowiednio dobranymi liczbami) kiedy otrzymana suma wektorów nie należy do przestrzeni ?

Adamm: wiadomo jak wyglądają takie przestrzenie to wszystkie kombinacje liniowe paru wektorów jak tak nie jest, to wiadomo że coś jest nie tak, wystarczy znaleźć kontrprzykład