grupy grupy: Czy istnieje 4 elementowa cykliczna podgrupa S₄?

Adamm: przypomnij mi co to jest za grupa, S₄

grupy: S₄ to grupa permutacji |S₄|=4!=24 Czy istnieje cykliczna H<S₄ i |H|=4?

Adamm: a co jeśli by wziąć taki cykl? (1, 2, 3, 4)

grupy: Taki moze być.

grupy: Generatorem H jest cykl h=(1,2,3,4). h⁰=id, h¹=(1,2,3,4), h²=(1,3)(2,4), h³=(1,4,3,2), czyli H={id, (1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2)}. Mam wskazac izomorfizm f:H→Z₄. Z₄={0,1,2,3}. f(id)=0 f((1,2,3,4))= f((1,3)(2,4))= f((1,4,3,2))= Skad mam wiedziec na co przejda pozostale elementy?

Adamm: dwie grupy cykliczne {z⁰, z¹, ..., z^k} i {w⁰, w¹, w², ..., w^k} istnieje między nimi bardzo prosty izomorfizm f(z^l) = w^l

Adamm: f((1, 2, 3, 4)ⁱ) = i taki izomorfizm będzie tutaj

grupy: Ok. A gdyby nie byly cykliczne to skad wtedy mam wiedziec na co przejda odpowiednie elementy?

Adamm: To tak ogólne pytanie, że aż na nie nie odpowiem

grupy: Moze miec to zwiazek z rzedami poszczegolnych elementow?

Adamm: tzn. podgrupy przechodzą na podgrupy o tej samej ilości elementów, tak

grupy: Chodzi mi o cos takiego: Niech A={a,b,c}; B={d,e,f}; |A|=|B|=3. a,d− elementy neutralne; zawsze przechodza na siebie; maja rzad 1. Czy rzedy elementow b,c,e,f maja znaczenie? np. element b ma rzad 2 i element f ma rzad 2 czy musza przechodzic na siebie? f:A→B f(a)=d f(b)=f ? f(c)=?

Adamm: każda grupa 3 elementowa jest cykliczna spróbuj to udowodnić wskazówka A = {e, x, y} jeśli grupa ta nie byłaby cykliczna, to znaczy że dowolny element z A ma rząd mniejszy od 3

grupy: Tylko grupy cykliczne maja rzedy elementow?

Adamm: Element dowolnej grupy ma rząd

grupy: Ok. Ale chodzi mi o cos innego. Niech te grupy beda 4−elementowe czy nawet 5−elementowe. X={a,b,c,d,e}, Y={k,l,m,n,o} a,k− elementy neutralne; zawsze przechodza na siebie; maja rzad 1. Czy rzedy elementow b,c,d,e,l,m,n,o maja znaczenie? np. element b ma rzad 2 i element m ma rzad 2 czy musza przechodzic na siebie? f:X→Y f(a)=k f(b)=m ? f(c)=? f(d)=? f(e)=? Czy elementy tych samych rzedow przechodza na siebie?

jc: Każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest grupą cykliczną. Np. C₅={0,1,2,3,4} (dodawanie modulo 5) Masz 4 izomorfizmy C₅ →C₅. Wystarczy, że ustalisz, co jest obrazem 1 (lub innego elementu różnego od 0). Reszta będzie określona.