ciało Game: Udowodnij, że zbiór 𝐾 = {𝑎 + 𝑏√2 |𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄}, z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest ciałem. Mam pytanie. Jak pokazać, że to działanie jest wewnętrzne?

Adamm: a, b, a', b' − wymierne (a+b√2)+(a'+b'√2) = (a+a')+(b+b')√2 ∊ K (a+b√2)(a'+b'√2) = aa'+a'b√2+ab'√2+2bb' = (aa'+2bb')+(ab'+a'b)√2 ∊ K

Game: Dzięki!

Arkadiusz : Myślałem, że zrozumiałem jednak pojawiła się pewna nieścisłość. Nie wiem czy dobrze rozumiem. Aby działanie było wewnętrzne nie musi być wewnętrzne dla dowolnego elementu? Czy dla dowolnego elementu znajdującego się w zbiorze K?

math: Def. Dwuargumentowym działaniem wewnętrznym w zbiorze X nazywamy funkcję h : . X × X → X jasne? Mamy zdefiniowany zbiór K jak wyżej. sprawdzamy czy działania zdefiniowane na nim, czyli + i * są wewnętrzne −> patrz def wyżej; − dodatkowo przypominam jak czytamy ten zbiór K składa się z elementów postaci a+b√2 gdzie a,b ∊K sprawdzamy czy + jest działaniem wewnętrznym czyli musimy dwa elementy tego zbioru dodać do siebie i sprawdzić czy wynik także jest elementem tego zbioru K czyli jest postaci a+b√2 gdzie a,b ∊K ok? już jaśniej czy coś jeszcze raz? pzdr

math: definicja niepełna ale chciałem dodać zarys że poruszamy się w obrębie danego zbioru −> w odpowiedzi dla których DOWOLNYCH elementów przeprowadzamy rozumowanie. ok?

Game: Teraz dotarło w 100% dzięki!

Adamm: chodzi o to żeby dla dowolnych x, y∊K, mamy mieć x+y∊K oraz xy∊K bierzemy dwa elementy ze zbioru K x = a+b√2 oraz y = a'+b'√2 gdzie a, b, a', b' są wymierne przez bezpośredni rachunek, dowodzimy że x+y oraz xy należą do K

Game: Mam jeszcze pytanie co do dwóch zadanek: Sprawdź, czy zbiór 𝐾 = {𝑎 + 𝑏𝜋|𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄}, z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest ciałem. niestety nie mam do niego odpowiedzi, jednak wyszło mi, że zbiór nie jest pierścieniem, bo działanie mnożenia nie jest wewnętrzne, pojawiło mi się w rachunku π². Za to zaś nie mam w ogóle pojęcia jak się zabrać. Niech (𝐺,∘) oraz (𝐺′,∘′) będą grupami oraz 𝑒 ∈ 𝐺1, 𝑒′ ∈ 𝐺2 elementami neutralnymi działań w odpowiadających grupach. Wykaż, że funkcja 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ spełnia własność 𝑓(𝑔1 + 𝑔2) = 𝑓(𝑔1) + 𝑓(𝑔2) to 𝑓(𝑒) = 𝑒′

Adamm: gdyby K było ciałem, to π²∊K, ale jak wiadomo, π jest liczbą przestępną, więc π² = a+bπ nie zachodzi dla żadnego a i b wymiernego otrzymana sprzeczność, dowodzi że K nie jest ciałem

Adamm: f(e) = f(e+e) = f(e)+f(e) z drugiej strony f(e) = f(e)+e' f(e)+f(e) = f(e)+e' skąd f(e) = e'

Adamm: powstaje pytanie jaka jest najmniejsze ciało generowane przez K to ciało wielomianów wymiernych liczby π t. j. zbiór liczb postaci a₀+πa₁+...+a_kπ^k dla pewnego k, gdzie a₀, ..., a_k są wymierne