klasy równoważności brakpomyslu : Klasy równoważności. Czy jeśli mam klase : [7]={−7,7} To czy to oznacza ,iz w mojej relacji są pary (7,7),(−7,−7),(7,−7),(−7,7)? I czy ta klasę moglabym nazwać [−7]? I czy klasy abstrakcji mogę wyznaczyć wyłącznie w relacji równoważności ?

Adamm: 1. tak 2. tak 3. tak

PW: [7] to wszystkie elementy, które pozostają w relacji ρ z 7. Z powodu zwrotności jest oczywiste, ze 7∊[7]. Podali nam, że jeszcze tylko (−7)∊[7]. Relację ρ tworzą więc pary typu (x, x) lub (x, −x) Tak więc (−7, −7) należy do relacji ρ. Oczywiście [−7]=[7].. Można się domyslać, że relacja była zdefiniowana następująco: x ρ y ⇔ |x| = |y|.

Adamm: "Relację ρ tworzą więc pary typu (x, x) lub (x, −x)" a to skąd? np. do ρ = {(7, 7), (7, −7), (−7, 7), (−7, −7), (2, 2)} nie należy (2, −2)

PW: Być może się źle domyślam Zakładałem, że relacja jest określona na całym zbiorze R albo przynajmniej Z.Przy podaniu tylko jednej klasy abstrakcji [7] trudno jest coś powiedzieć Chciałem podać przykład takiej relacji, a wyszło źle. Nie lubię takich wydumanych zadań. Mówi się o relacji i jej klasie abstrakcji, ale nie podaje się jej dziedziny ani definicji.

brakpomyslu : To nie jest żaden konkretny przykład, po prostu "badam teren" w tych klasach. A jeśli mialabym klasę [2]={2,4,6,8,...} To równie dobrze moglabym napisać,ze to jest klasa [4], nie tracąc żadnych par? I pary z tej klasy to byłyby (2,2),(2,4),(4,2),...? Czy skoro napisalam [2] to mój poprzednik w parze także musi wynosić 2?

Adamm: "To równie dobrze moglabym napisać,ze to jest klasa [4], nie tracąc żadnych par?" Jeśli y∊[x], to [x]=[y] "I pary z tej klasy to byłyby (2,2),(2,4),(4,2),...?" to są jedne z par, ale jest ich o wiele więcej (oczywiście) są to wszystkie pary postaci (a, b) gdzie a, b∊[2] "Czy skoro napisalam [2] to mój poprzednik w parze także musi wynosić 2?" nie rozumiem o co pytasz

brakpomyslu : Adam, chodziło mi o to czy pary to: (2,2),(2,4),(2,6),.... Czy także (4,2),(4,4),(4,6),... Ale z Twojej drugiej odpowidzi wnioskuje, ze wszystkie te pary należą do relacji.

Adamm: Relacja równoważności jest 1. zwrotna ∀_x∊X (x, x)∊R 2. symetryczna ∀_{x, y∊X} ( (x, y)∊R ⇒ (y, x)∊R ) 3. przechodnia ∀_{x, y, z∊X} ( (x, y)∊R ∧ (y, z)∊R ⇒ (x, z)∊R ) zbiór A_x = {y: (x, y)∊R} nazywamy klasą abstrakcji, i oznaczamy przez [x] klasy abstrakcji mają niektóre własności, przez co dzielą naszą przestrzeń na klasy (stąd nazwa, chyba) 1. x∊[x] (wynika ze zwrotności) 2. jeśli y∊[x], to [x]=[y] faktycznie, z∊[x] ⇔ (x, z)∊R ale skoro y∊[x], to (x, y)∊R ⇔ (y, x)∊R z przechodniości, (y, z)∊R ⇔ z∊[y] więc [x]⊂[y] z drugiej strony, jeśli z∊[y], to dochodzimy tymi samymi krokami do wniosku, że [y]⊂[x] więc [x] = [y] 3. jeśli y∉[x], to [x]∩[y] = ∅ gdyby [x]∩[y] ≠ ∅, to możemy wziąć z∊[x]∩[y] wtedy z∊[x], skąd [x]=[z] ale z∊[y], skąd [y]=[z] zatem [x]=[y], skąd y∊[x] otrzymaliśmy sprzeczność z tym że [x]∩[y] ≠ ∅ wyobraź sobie jakiś zbiór (może być ogromny) klasy abstrakcji dzielą go na rozłączne części

Adamm: mam taki (może głupi) przykład Wyobraź sobie pizzę. Dzielisz ją na 8 kawałków. 2 atomy z pizzy są w relacji, jeśli są składowymi tego samego kawałka jest to relacja równoważności Będzie tu 8 klas abstrakcji, każda odpowiada jednemu kawałkowi pizzy.

brakpomyslu : A wiec zbiory albo są rozłączne ,albo pokrywają się w całości,tak?

Adam: Tak

brakpomyslu : A jeszcze do tej pizzy... Każdy z atomów może byc reprezentantem danego kawałka? i może być w relacji sam ze sobą?

brakpomyslu : Adamm?

Adam: Tak