W jaki sposób udowodnić ze istnieją całkowite pierwiastki w obu równaniech ? Dan09: Dane są równania x² − px + q = 0 oraz x² − px − q = 0, gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Wykaż, że jeżeli obydwa równania mają pierwiastki całkowite, to istnieją liczby naturalne a, b, takie że p² = a² + b². Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Zad. z olimpiady (czas na wysyłanie minął 23.10.2018)

Adam: Część 1 x₁, x₂ − rozw. pierwszego y₁, y₂ − drugiego x₁²+x₂²+y₁²+y₂² = p(x₁+x₂+y₁+y₂) (x₁−x₂)²−2x₁x₂+(y₁−y₂)²−2y₁y₂ = 2p² (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² = 2p² Zatem a²+b²=2p² dla pewnych a i b

Adam: Część 2 Niech a i b będą parzyste a=2k₁, b=2k₂ p² = 2k₁²+2k₂² = (k₁−k₂)² + (k₁+k₂)² Niech a i b będą nieparzyste a=2k₁+1, b=2k₂+1 p² = 2k₁²+2k₁+2k₂²+2k₂+1 = (k₁−k₂)²+(k₁+k₂+1)² Zatem udowodniliśmy Jeśli a²+b² = 2p², to m²+n² = p² dla pewnych m i n Jak udowodnić implikację odwrotną?

jc: x, y = rozwiązania. x²−px+q=0 y²−py−q=0 p²=p²+2(x²−px+q)+2(x²−px−q)=(x−y)²+(x+y+p)² Pozostaje do rozstrzygnięcia implikacja odwrotna ...

jc: Oj, powinno być p²=p²+2(x²−px+q)+2(y²−py−q)=(x−y)²+(x+y−p)²

jc: p=5, 5²=3³+4² Równanie x²−5x+3=0 nie ma jednak pierwiastków całkowitych.