rachunek rozniczkowy Julka: Wyznacz przedział postaci ( ^k₁₀ ; ^k+1₁₀ ), gdzie k∊C, do którego należy rozwiązanie równania x³+2x+1=0

Bleee: Zauważ że f(x) = x³ +2x + 1 jest funkcja rosnąca. Aby rozwiązanie leżało w zadanym przedziale musi zachodzic: f(k/10) < 0 f( (k+1)/10) > 0

Julka: o dziekuje za pomoc, zaraz sprobuje!

Julka: niestety nie umiem rozwiazac tych nierownosci Moze ktos mi pomoc?

Jerzy: A słyszałaś coś o twwierdzeniu Darboux ?

Julka: nie, nie mialam w szkole. A mozesz mi cos powiedziec o tym twierdzeniu?

Jerzy: Pozcytaj to: https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux

Julka: dzieki, niestety nie rozumiem tego.

Jerzy: Poptarz na wykres. Jeśli funkcja jest ciągła i f(a) < 0 oraz f(b) > 0 , to w przedziale (a,b) musi istnieć taki punkt c należący to tego przedziału,że f(c) = 0 ( inaczej funkjca ma miejsze zerowe w puunkcie c )

Julka: tak, to zrozumialam bo to napisal juz bleee, ale nie umiem rozwiazac nierownosci f(k/10)<0

ICSP: masz znaleźć przybliżenie miejsca zerowego z dokładnością do 0,1. Metoda bisekcji nada się idealnie.

Julka: czy naprawde nikt nie moze mi tego rozwiazac zebym to sobie przeanalizowala?

Jerzy: Pomijajc sposoby obliczenia przyblizenia rozwiazania równania, tutaj mamy: x ≈ − 0,45 Zatem: − 0,5 < x < − 0,4 Czyli: k = − 5

Julka: nie mam pojecia jak do tego doszedles. Niestety moj nauczyciel nie zaakceptuje takiego rozwiazania a ja nie bede umiala tego wytlumaczyc

Bleee: A na jakim etapie edukacji jesteś?

Julka: druga klasa liceum

Jerzy: To proponuję poprosić nauczyciela /cielkę , aby wam pokazał jak znależć pierwiastek tego równania.

Julka: to zadanie ze zbioru zadan, z zestawu I, czyli raczej powinno byc latwe. Naprawde nie potrafie zrobic tego zadania.

Julka: no tak, oczywiscie, jak tu mi nikt nie pomoze to tak zrobie.

Jerzy: Zapewniam cię,że raczej nie jest łatwe.

ICSP: jest proste. f(x) = x³+2x+1 f(−1) = −2 f(0) = 1 pytają nas o przybliżenie miejsca zerowego z dokładnością do 0.1 Liczymy, wiec wartości funkcji w punktach skrajnych tzn f(0.1) , f(0.2) , ... i wybieramy k dla którego zmieni sie znak w ciągu tych wartości.

ICSP: f(−0.1) , f(−0.2) , ... f(−0.9)

Jerzy: @ICSP , nie sądzę, aby to było w programie II klasy liceum.

Julka: dziekuje ICSP! juz sie za to zabieram, rozumiem o co chodzi

Jerzy: @ Julka .... czy rzeczywiście nauczyciel/ka pokazywała wam tą metodę ?

Blee: Julka −−− 'łopatologiczna procedura szacowania miejsca zerowego' f(x) = x³ + 2x + 1 f(0) = 0 + 0 + 1 > 0 f(−1) = (−1)³ −2 + 1 < 0 więc miejsce zerowe jest w przedziale (−1 ; 0) wybieramy połowę tego przedziału: f(−0.5) = (−0.5)³ −1 + 1 < 0 więc miejsce zerowe jest w przedziale (−1/2 ; 0) wybieramy połowę tego przedziału: f(−0.25) = (−0.25)³ − 0.5 + 1 > 0 więc miejsce zerowe jest w przedziale (−1/2 ; −1/4) wybieramy połowę tego przedziału f(−3/8) = (−3/8)³ − 3/4 + 1 > 0 więc miejsce zerowe jest w przedziale (−1/2 ; −3/8) wybieramy połowę tego przedziału f(−7/16) = (−7/16)³ − 7/8 + 1 > 0 więc miejsce zerowe jest w przedziale (−1/2 ; −7/16) przedział ten to (−0.5 ; −0.4375) więc szukany przedział to (−0.5 ; −0.4)

Julka: Blee, baaaardzo dziekuje wszystko jest jasne! Jerzy, nasza nauczycielka tylko zadaje ... dlatego sama staram sie do wszystkiego dochodzic i generalnie mi sie udaje. Ale to zadanie mnie przeroslo. Fajnie ze ICSP i Blee tak fajnie to wytlumaczyli. Jeszcze raz bardzo dziekuje za pomoc.

Jerzy: Współczuję takiego nauczyciela matematyki.

Blee: A ze względu na to, że masz taki a nie inny przedział dokładności to bym połączył to co ja i ICSP podaliśmy, więc: Krok 1: f(0) > 0 f(−1) < 0 Krok 2: f(−0.5) < 0 Krok 3: f(−0.3) > 0 (a nie 1/4 czyli 0.25) Krok 4: f(−0.4) > 0 więc masz przedział ( −0.5 ; −0.4)

Julka: dokladnie tak sobie to wlasnie rozpisalam! dziekuje

PW: Julka, masz dobrego nauczyciela matematyki Stawia zadania, a Ty sobie z nimi radzisz. Najbardziej zapada w pamięć to, do czego dochodzimy sami. A powiedz − jak w drugiej klasie uzasadnisz monotoniczność f? Niby nie jest potrzebna do rozwiązania tego zadania (konieczna jest ciągłość f), ale bez monotoniczności możemy tylko

	k		k+1
stwierdzić "w przedziale (		,		jest co najmniej jedno miejsce zerowe".
	10		10

Jest, i o to pytali, ale pozostje niedosyt − tylko jedno czy więcej?

PW: A tak z ciekawości: − Jesteś Julka z drugiej „a”, czy Julka co liczy całki powierzchniowe i bawi się liczbami zespolonymi?

Julka: monotonicznosc zrobilabym z pochodnej troche sama sie ucze matematyki bo zalezy mi na dobrym wyniku z matury nauczyciele sa jacy sa, moja pani jest mila, ale chyba wszystkiego nie umie tlumaczyc bo bardziej problematyczne zadania pomija. Niestety calek i liczb zespolonych nie znam ...

Jerzy: W samym słowie "nauczyciel" jest zawrta rola nuczyciela. Ma uczyć , a nie zadawać trudne zadanie, których uczeń nie potrafi sam rozwiazać. To skandal. Na miejscu waszych rodziców wystąpiłbym z wnioskiem o zmianę nauczyciela.

Krzysiek60: Twoj postulat Jerzy doprowadzilby do tego ze zmieniono by prawie wszystkich nauczycieli Najgorsi sa studenci co udaja licealistow .

Julka: Ale ja nie jestem studentka! to zadanie ze zbioru zadan nowej ery dla klasy 2 LO

Blee: Krzysiek −−− wiesz co wskazuje na to, że nie jest ona studentką −−− sposób oznaczenia zbioru liczb całkowitych. Żaden wykładowca uczelni wyższej nie oznaczy Ci tegoż zbioru literą C