Granice Jakub: Dobry wieczór, czy ktoś mógłby mi wyjaśnić w jaki sposób obliczyć oblicz lim n/(2ⁿ)?

Adamm: raczej podaje się jako fakt, że

	nk
limn→∞		= 0 o ile tylko a>1
	an

Jakub: Niestety WPPT wymaga na to dowodów Też mam problem z udowodnieniem, że lim aⁿ =0 dla |a|<1

Adamm: ⁿ√n^k/aⁿ = (ⁿ√n)^k/a → 1/a < 1 ⇒ ∑ n^k/aⁿ jest zbieżny ⇒ n^k/aⁿ → 0 może być taki dowód?

mat: 2ⁿ≥n² dla n≥4 INDUKCJA?

	n		n
zatem		≤
	2n		n2

	n		1
zatem 0≤		≤
	2n		n

zatem ...

Jakub: No tak Dzięki A jak udowodnić, że lim an =0 dla |a|<1?

mat: jeżeli |a|<1 to |a|ⁿ≤|a|ⁿ⁺¹ (oczywiście 0<|a|ⁿ<1) Mamy zatem ciąg a_n=|a|ⁿ ktory jest ograniczony i malejący⇒a_n zbieżny Gdyby jednak lim a_n = g>0 to oznaczałoby to, że |a|ⁿ≥g dla każdego n czyli |a|≥ⁿ√g dla każdego n, jednak jak wiadomo granica ⁿ√g→1 dla każdej liczby g>0 zatem |a|≥1 sprzeczność

mat: w drugiej linijce oczywiscie |a|ⁿ⁺¹≤|a|ⁿ **

mat: zatem |a|ⁿ→t0 ⇔|aⁿ|→0⇔aⁿ→0

Jakub: Ok, a jak udowodnić, że n√g→1 dla każdej liczby g>0 , bo to jest mój kolejny podpunkt?

jc: d>0 n^k /(1+d)ⁿ →0 k − całkowite nieujemne. 3 ciągi

	n k+1
(1+d)n ≥		dk+1

	nk		nk
0<		≤		→0
	(1+d)n		n k+1   dk+1

(n>k, ale przecież idziemy do ∞)

jc: g > 1, dla g<1 przechodzimy do odwrotności.

	g+n−1		g + 1 + 1 + ... + 1
1←		=		≥ n√g*1*1*...* 1=n√g ≥ 1
	n		n

Teraz 3 ciągi.

mat: chocby z nierownosci Bernoulliego (1+x)ⁿ≥1+xn dla x≥−1 (uprzedzając kolejne pytanie: dowodzi się ją z indukcji!) weźmy x>0 wtedy jest ona równoważna 1+x≥ⁿ√1+xn

	g−1
i teraz byśmy chcieli żeby g=1+xn⇔x=
	n

Przyjmijmy chwilowo, że g>1 (wtedy x>0)

	g−1
i mamy 1+		≥n√g≥1
	n

	g−1
oczywiście		→0 więc mamy to co chcieliśmy
	n

− gdy g=1 to oczwiste

	1
gdy g∊(0,1) to		>1 i wtedy n√1/g→1
	g

ale ⁿ√1/g=1/ⁿ√g zatem ⁿ√g→1

Adamm: z tw. Stolza

	n+1
lim n√n = lim		= 1
	n

jc: mat, jeśli już, to tak. 0<a<1, aⁿ ciąg malejący i ograniczony i dlatego zbieżny. aⁿ →g, aⁿ⁺¹ →g. g=ag, a ponieważ a<1, więc g=0.

mat: Adamm to żeś strzelił tzn tw Stolza jest super, ale za silne narzędzie na te granice

Jakub: Dzięki Czy poprawnym, byłoby też zapisanie lim n√g = lim g^1/n gdzie 1/n → 0, więc lim g⁰ = 1?

mat: a co z moim uzasadnieniem jest nie tak?

Adamm: Dowód jest prosty. Twierdzenie też. Za silne? Nie ma czegoś takiego

Adamm: @Jakub Najpierw musiałbyś udowodnić że g^x jest funkcją ciągłą

mat: nie, takie uzasadnienie by oznaczało, że korzystasz z ciągłości funkcji f(x)=g^x w zerze (czego zakłada to zadanie jeszcze nie wiesz)

jc:

	√n + √n + n−2
1 ≤ n√n = n√√n √n n 1n−2 ≤		→ 1
	n

trzy ciągi, wniosek ⁿ√n →1

mat: no w tym sensie, ze rownie dobrze moznaby udowodnic, ze funkcja liniowa ma miejsce zerowe z Twierdzenia Liouville’a

Adamm: Chodzi ci o to twierdzenie Liouville'a które jest w analizie zespolonej? Twierdzenie Stolza jest proste i nie wymaga dużo. Nie ma co porównywać, zresztą jak byś chciał to w ogóle zastosować

mat: To nie był atak, po porstu chciałem tylko napisac, ze da sie to duzo prosciej zrobic Nie mowie ze rozwiązanie z tw Stolza jest bee

Adamm: To też nie był atak. Po prostu porównanie bez sensu. A co do prostoty, to akurat jest sprawa względna

mat: sam dowod tw stolza byłby po prostu trudniejszy niz samo to zadanie

Adamm: Dowód nie jest wcale trudny, jest łatwy A samo twierdzenie jest nieziemsko przydatne

mat: zgadzam sie! Nie jest bardzo trudny, ale trudniejszy niż samo to zadanie I tak, samo twierdzenie jest super

Jakub: Mam tylko jeszcze jedno pytanie, czemu stwierdzamy, że n√g≥1?

mat: w tym co ja napialem: dletego, ze załozylem ze g>1 więc ⁿ√g≥1 dla dowolnego n (przypadek g<1 jest pozniej)

Jakub: dobra, głupie pytanie

Jakub: Już późna godzina , dzięki wielkie jeszcze raz!

jc: Jeśli g ≥1, to ⁿ√g ≥ 1. Zdanie równoważne ze stwierdzeniem Jeśli ⁿ√g < 1, to g < 1. (wystarczy obie strony podnieść do n−tej potęgi).