zbior pelny Benny: Jak pokazać, że zbiór {xⁿ} jest pełny w L₂[a,b]?

Adamm: Gęsty?

Benny: Pełny. I nie zbiór tylko układ.

Adamm: Chodzi ci o to czy tworzy bazę Schaudera?

Benny: Nie słyszałem takiego pojęcia jak baza Schaudera. Muszę pokazać, że mój układ jest pełny, żeby przeprowadzić ortogonalizacje.

Adamm: dla dowolnej funkcji f∊L₂[a, b] istnieje funkcja ciągła g na [a, b], że ||f−g||₂<ε z drugiej strony, dla tej funkcji g, istnieje wielomian h, taki że ||g−h||₂<ε stąd ||f−h||<2ε, czyli dla dowolnej funkcji f z naszego zbioru, możemy ją przybliżać dowolnie wielomianem, czyli zbiór funkcji postaci xⁿ tworzy układ ortonormalny zupełny w L₂[a, b]

Benny: Oj, coś tu chyba nie gra. Ten układ nie jest ortogonalny, a co dopiero ortonormalny. W definicji układu zupełnego mam coś takiego. ∀f (f,f_n)=0⇒f=0 Czyli w moim przypadku _a∫^bf(t)tⁿdt=0 i z tego ma wynikać, że f(t)=0.

	sin(wt−wx)
Doszedłem do momentu, że ta całka jest równoważna całce a∫bf(t)		dt=0. Czy na
	t−x

tej podstawie można wywnioskować, że f(t)=0?

Benny: Nie zupełnego, a pełnego.

Adamm: fakt, głupoty napisałem

Adamm: Ale patrz z racji tego że dowolną funkcję w L₂ możemy przybliżać wielomianami, to dla dowolnego ε>0 ||f||₂² ≤ ||f−h||₂² = ||f||₂²+||h||₂² < ε ⇒ ||f||₂ = 0 ⇒ f = 0 p. w.

Adamm: tutaj f to dowolna funkcja, a h to wielomian taki, żeby ||f−h||₂²<ε

Adamm: tzn. f to funkcja taka żeby (xⁿ, f) = 0, nie dowolna

Benny: Tylko, żeby zachodziła pierwsza równość musi być (f,h)=0

Adam: No przecież tak jest. Iloczyn skalarny jest liniowy

jc: Benny, jak definiujesz układ pełny?

Benny: Mamy układ {f_n}, f_n∊H {f_n} jest zbiorem pełnym, gdy: ∀f∊H, (f,f_n)=0⇒f=0

jc: Otworzyłem książkę Musielaka (wstęp do analizy funkcjonalnej). Autor taki układ nazywa zupełnym. Twoje zadanie można znaleźć ze wskazówkami na str. 69. Trochę dużo szczegółów, ale tak jak pisze Adamm korzystamy z możliwości przybliżania funkcji ciągłych wielomianami oraz wykorzystujemy wielomiany Legendre'a.

Benny: Do wielomianów Legendre'a mam dojść poprzez ortogonalizacje.

Adam: Benny, zgadzasz się z tym co napisałem 23:28 ?

Benny: No właśnie nie do końca, bo z tego co napisałeś wynika, że f i h są ortogonalne.

Adam: Ale f jest ortogonalny z dowolną funkcją postaci xⁿ, a co za tym idzie, dowolnym wielomianem

Benny: Racja, po napisaniu posta sobie to uświadomiłem, dzięki

jc: Addam, korzystamy z możliwości przybliżenia funkcji ciągłych wielomianami. Funkcje z L₂ nie muszą być ciągłe, więc konieczny jest jakiś komentarz.

Benny: Tw. Weierstrassa mówi o przybliżaniu funkcji ciągłej. Jak więc będzie w tym wypadku?

Adam: Tw. Łuzina Funkcje mierzalne można przybliżać ciągłymi

Benny: Chyba już słyszałem o tym twierdzeniu. Dzięki.

Adam: Proszę

Benny: Coś na temat zastosowania baz wielomianowych/trygonometrycznych możecie powiedzieć? Wiem, że stosuje się je w teorii obwodów/sygnałów oraz w analizie numerycznej w celu aproksymacji.