Min i max funkcji Krzysiek60: Mozna wykazac ze dla dowolnych liczb a₁,a₂,,,,,,,,,a_n zachodzi nierownosc

a1+a2+...an		n
	≥n√a1*a2*...*an≥
n		1/(a1)+1/(a2)+....+1/(an)

Przy czym rownosci zachodza wtedy i tylko w tedy gdy a₁=a₂=.....=a_n jest to nierownosc niedzy serdnimi arytmetyczna , geometryczna i harmoniczna Mam 4 zadania gdzie te nierownosci miedzy srednimi mam wykorzystac do obliczenia najwiekszsej i najmniejszsej wartosci funkcji.Prosilbym o wytlumaczenie dlaczego takie a nie inne nierownosci nalezy wykorzystac Na razie pochodne odpadaja . Mozna mi tez bedzie pokazac inna metode niz ta . Przy funkcji kwadratowej nie ma problemu znalezc min czy max czy to na przedziale czy w calej dziedzinie . Zadanie nr 1 Wykorzystujac te srednie znajdz najwieksza wartosc funkcji

	2x
f(x)=		x∊R
	x2+1

Adamm: Nie prawda że dla dowolnych. Dodatnie muszą być dla x≥0

	x2+1
x ≤		⇒ 0≤f(x)≤1
	2

f(x)=1 wtedy i tylko wtedy gdy x²=1 ⇒ x=1 teraz, f(−x)=−f(x), więc dla x<0, −1≤f(x)≤0 i f(x)=−1 dla x=−1

Adamm:

Krzysiek60: czesc Znowu pominalem dodatnich . A co ze srednimi ? Jakie i jak wykorzystac ?

Adamm: Wystarczy am−gm a₁ = x², a₂=1

Krzysiek60: No ok.

	x2+1
Ale jak wykorzysatm to dostane		≥√x2 to dojde do nierownosci przwdziwej
	2

jak to zapisac w tym zadaniu ?

Krzysiek60: Popi.......e to w ogole jest

Krzysiek60: Dojde do pochodnych i zrobie . Nastepne moze komus sie przydadza z nierownosci srednich Zadanie nr 2 Najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji

	x
f(x)=		gdzie ab∊R
	ax2+b

Zadanie nr 3

	48
Najmniejsza wartosc funkcji f(x) x3+		x∊R
	x

Zadanie nr 4 Najwieksza wartosc funkcji f: (0,1)→R i f(x)= x⁴−x⁶ Zadanie nr 5 Korzystajac z nierownosci Schwarza wyznacz najwieksza wartosc funkcji f(x)= √x+4√1−(x/2) f(x) doprowadzam do f(x)= √x+2√2√2−x i teraz a₁= 1 a₂= 2√2 b₁= √x b₂= √2−x Nierownosc Schwarza |a₁*b₁+a₂*b₂|≤√a₁²+a₂²*√b₁²*b₂² po podstawieniu i obliczeniu wyszlo mi 3√2

Omikron:

	16		16		16
W zad 3 f(x) = x3 +		+		+
	x		x		x

Z nierówności między średnimi

16   16   16   x3+ + +   x   x   x		16		16		16
	≥ ({x3*		*		*		)(1/4)
4		x		x		x

Po prawej stronie x się skróci.

Adamm: @Omikron możesz tak zrobić dla x≥0 co będzie dla x<0 ?

Omikron: Pewnie powinienem dopisać, że za dziedzinę uznałem R₊. Krzysiek pisał wcześniej, że zapomina tego dodawać, więc musiało o to chodzić.

Adamm: Załóżmy że nie zapomniał dodać że R₊, i jest R\{0} jak wtedy byś to zrobił?

Omikron: Pewnie liczyłbym pochodną i ekstremów szukał

Adamm: f(−x) = −f(x) jaki z tego jest wniosek?

Omikron: Nie będzie istniała wartość najmniejsza. Będzie tylko wartość najmniejsza dla jakiegoś x przy D = R₊ i wartość największa dla −x przy D = R₋

Krzysiek60: Wracam do zadania z 13 :02 i nr 2 ,3, 4 z 15 :59 Prosilbym o dokladne rozpisanie i wytlumaczenie dlaczego tak ?

iteRacj@: do zad. nr 2 z 15:59 przygotowałam animację, może ktoś będzie chciał wpisać wnioski https://www.geogebra.org/graphing/pnpyubmf trzeba uruchomić suwaki

Krzysiek60: Dobry wieczor Do tego zadania mam tak:

	1		−1
najwieksza wartosc wynosi		a najmniejsza
	2√ab		2√a*b

Wskazowka f jest nieparzysta i dla x>0 f(x)>0 zas dla x<0 f(x)<0 zatem dla pewnego x∊R₊ f moze osiagnac wartosc najwieksza .Zastosuj nierownosc miedzy srednia arytmertyczna a geometryczna dla liczb ax²i b gdzie x∊R₊ Nie wiem jak bo znowu dojde do nierownosci prawdziwej jak poprzednio Dlatego zalezy mi na rozwiazaniu i ewentualnie wytlumaczeniu .

Krzysiek60:

	4
Do zadania nr 4 mam tylko odp. Najwieksza wartoscia jest
	27

Do zadania nr 3 Najmniejsza wartosc jest 32 Wskazowka zastosuj a_m−g_m . Do nr 1. Najwieksza wartosc to 1 Wskazowka Wykorzystaj nierownosc miedzy srednia harmoniczna i geometryczna dla liczb x i

	1
	x

Adam: A jakieś własne pomysły?

Krzysiek60: Adamm wybacz ale takie pisanie nic nie da napisalem o 14 : 41 ze dochodze do nierownosci prawdziwej a to mi nic nie daje .

jc: x ∊ (0,1) a=b=x²/2 c=1−x²

a+b+c
	≥ 3√abc
3

1/3 ≥ ³√(x²/2)(x²/2)(1−x²) 1/27 ≥ (x²/2)(x²/2)(1−x²) 4/27 ≥ x⁴−x⁶ Równość mamy w przypadku x²/2=1−x², czyli dla x=√2/3.

Krzysiek60: dzieki jc i dobranoc Jutro sie nad tym zastanowie po powrocie