Indukcja Omikron: Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste dodatnie a₁, a₂, ... , a_n spełniają warunek ∑ (od k=1 do n) a_k ≤ 1,

	1
to ∑ (od k=1 do n)		≥ n2.
	ak

Zadanie prawdopodobnie na indukcję, bo znajdowało się w zestawie zadań z indukcji. Dla n = 1 łatwo sprawdzić, ale mam problem z drugą częścią. Wydaje mi się, że w tezie indukcyjnej musimy wziąć inne liczby niż w założeniu, bo inaczej nie będzie to miało sensu. Żeby jakoś uzależnić od siebie założenie indukcyjne i tezę potraktowałem b_n + b_n+1 jako jedną, n−tą liczbę, ale na koniec docieram do nierówności, której prawdziwość nie wiem jak udowodnić. Może istnieje łatwiejszy sposób, byłbym wdzięczny za pomoc.

a7: nie wiem czy to coś pomoże, ale zajrzyj do zadania 41, jest też jego rozwiązanie http://www.sem.edu.pl/materialy/nierownosci.pdf

jc: a_i > 0 . u=(√a₁, √a₂, ... ,√a_n) v=u=(1/√a₁, 1/√a₂, ... ,1/√a_n) u*v ≤ |u| |v| (u*v)² ≤ u² v² n² ≤ (a₁+a₂+...+a_n)(1/a₁+1/a₂+...+1/a_n) Skoro (a₁+a₂+...+a_n) ≤ 1, to (1/a₁+1/a₂+...+1/a_n) ≥ n². Inny dowód oparty jest na nierówności pomiędzy średnimi. Można też zwyczajnie pomnożyć (a₁+a₂+...+a_n)(1/a₁+1/a₂+...+1/a_n) ∑a_i ∑1/a_j = (1/2) ∑∑ (a_i/a_j + a_j/a_i) ≥ (1/2) ∑∑ 2 = n²

Omikron: Stosując nierówność między średnimi faktycznie szybko i prosto wychodzi. Dziękuję.