kilka własności kongruencji, kongruencje Tadeusz$oplica: −−− Kilka własności kongruencji −−− przydadzą się każdemu, ale też do ćwiczeń, które przesyłam w następnym poście 0. Zapis a ≡ b (mod m) oznacza, że reszta z dzielenia a jest taka sama co reszta z dzielenia b przy dzieleniu przez m. Czytamy: a przystaje do b modulo m. 1. Jeśli a≡b (mod m), to b≡a (mod m). 2. Jeśli a≡b (mod m) oraz b≡c (mod m), to a≡c (mod m). 3. Jeśli a≡b (mod m) oraz n|m, to a≡b (mod n). 4. a≡b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy ac≡bc (mod mc). 5. Jeśli a≡b (mod m) oraz a≡b (mod n), to a≡b (mod NWW(m,n)). 6. Jeśli NWD(m,n) = 1, a≡b (mod m) oraz a≡b (mod n), to a≡b (mod mn). 7. Jeśli a≡b (mod m) oraz c≡d (mod m), to zachodzi: a) a+c ≡ b+d (mod m), b) a−c ≡ b−d (mod m), c) ac ≡ bd (mod m). 8. Jeśli a≡b (mod m), to aⁿ≡bⁿ (mod m). 9. Jeśli NWD(a,m) = 1 oraz ab≡ac (mod m), to b≡c (mod m). 10. Jeśli NWD(a,m) = 1, to istnieje liczba b taka, że ab≡1 (mod m).

PW: Soplica, ty się zdecyduj − podsyłasz do odrobienia swoje prace domowe czy powadzisz działalność edukacyjną? Jedno i drugie jest zbędne, nie zaśmiecaj forum swoją nadaktywnością.

Tadeusz$oplica: @PW skoro oba są zbędne, to co powinno znajdować na forum? Myślę, że użytkownicy tutaj na pewno nie wchodzą tylko po to, żeby odrobić komuś wyrwane znikąd zadanie domowe. Nie chcę nic, nikogo oceniać ani się wykłócać, ale jesteś ode mnie bardziej aktywny luz, człowieku. Pełnisz na tym forum rolę moderatora/administratora? Ku Twej radości dopowiem, że nie mam natenczas więcej zadań ani treści, ani czasu, żeby wrzucić.

Adamm: 1. oczywiste 2. oczywiste 3. oczywiste 4. oczywiste 5. a ≡ b (mod m) i a ≡ b (mod n) ⇔ m|(a−b) i n|(a−b) ⇔ NWW(m, n)|(a−b) ⇔ a ≡ b (mod NWW(m, n)) 6. patrz 5 7. a) oczywiste b) oczywiste c) ac ≡ bc ≡ bd (mod m) 8. patrz 7c 9. ab ≡ ac (mod m) ⇔ m|a(b−c) ⇔ m|(b−c) ⇔ b ≡ c (mod m) (bo NWD(a, m) = 1) 10. NWD(a, m) = 1 ⇒ istnieją p, q takie że pa+mq = 1 ⇒ pa ≡ 1 (mod m)