kilkanaście ćwiczeń z NWD, NWW itp. Tadeusz$oplica: ♦z. 1: oblicz NWD(a,b) oraz NWW(a,b), jeśli a) a=220 b=165 b) a=360 b=132 c) 360, 504 ♦z.2: Suma dwu liczb ℕ+(*) wynosi 168, a NWD=24. Znajdź te liczby. ♦z.3: Iloczyn dwu liczb ℕ+ wynosi 6174, a NWD=21. Znajdź te liczby. ♦z.4: NWD dwu liczb ℕ+ jest równy 24, a NWW=2496. Znajdź te liczby. ♦z.5: Pewna liczba ℕ, mniejsza od 2000, ma tę własność, że gdy od niej odejmiemy 120, to wynik będzie podzielny przez 24, gdy zaś od niej odejmiemy 92, to wynik będzie podzielny przez 46. Znajdź tę liczbę. ♦z.6: Znajdź liczbę ℕ, mniejszą od 1000, która przy dzieleniu przez 10 daje resztę 9, przy dzieleniu przez 15 resztę 14, a przy dzieleniu przez 21 resztę 20. ♦z.7: Ile może wynosić NWD(n, n²+4)? Od czego to zależy? ♦z.8: Ile może wynosić NWD(n³+2, n−1)? Od czego to zależy? ♦z.9: Liczby ℂ+(**) a, b, c spełniają warunki: NWD(a,b,c)=1 oraz b² = bc. Wykaż, że a+2b+c jest kwadratem liczby ℂ. ♦z.10: Uzasadnij, że dla dowolnych liczb ℕ b>a zachodzi równość NWD(a,b) = NWD(a, b−a). ♦z.11: Każde dwie spośród 3 ℂ+ a, b, c są różne. Ponadto, liczby te spełniają zależności NWD(a,b)=1 oraz NWD(a,c) = 1. Wynika z tego, że: a) NWD(b,c)=1 b) NWD(a, b+c)=1 c) NWD(a, bc)=1. ♦z.12: Znajdź 2 różne liczby ℕ, dla których: a) jeśli każdą z nich zmniejszy o 2, to ich NWD także zmniejszy się o 2 b) jeśli każdą z nich zwiększy o 2, to ich NWD także zwiększy się o 2 c) ich suma jest najmniejsza możliwa. ♦z.13: Sprawdź, czy istnieją 3 kolejne liczby ℕ x, y, z, dla których trzema kolejnymi liczbami naturalnymi są: a) NWD(x,y), NWD(x,z), NWD(y,z) b) NWW(x,y), NWW(x,z), NWW(y,z) ♦z.14: Liczba uczniów pewnej szkoły jest zawarta pomiędzy 500 i 1000. Kiedy grupujemy ich po 18 lub po 20 lub po 24, pozostaje za każdym razem 9 uczniów. Jaka jest liczba uczniów tej szkoły? ♦z.15: NWD dwu liczb jest równy 15, a NWW tych liczb jest 315. Podaj te liczby. ♦z.16: Znajdź 2 liczby ℕ+ , których suma wynosi 750, zaś wynik dzielenia ich NWW przez NWD wynosi 1196. ♦z.17: Znajdź liczbę ℕ, mniejszą od 1000, która przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1, przez 3 resztę 2, przez 4 resztę 3, przez 5 resztę 4, przez 6 resztę 5, przez 7 resztę 6, przez 8 resztę 7. ♦z.18: NWD dwu liczb ℕ wynosi 512, a NWW wynosi (2/3 NWD)*(x²+2y=3x+4y). Podaj masę Słońca. (*) liczba naturalna. Z plusem − naturalna dodatnia. (**) liczba całkowita. Z plusem − całkowita dodatnia.

Eta: Ślicznie przekopiowane Takiego postu ................ dawno nie było

PW: Toteż i odpowiedź będzie taka jakiej dawno nie było.

Adamm: 1. a) 220 = 2²*5*11 165 = 5*3*11 NWD = 55 NWW = 2²*5*11*3 = 660 b) 360 = 2³*3²*5 132 = 2²*3*11 NWD = 12 NWW = 2³*3²*5*11 = 3960 c) 504 = 2³*3²*7 NWD = 2³*3² = 72 NWW = 2³*3²*7*5 = 2520 2. a+b = 168 NWD(a, b) = 24 a/24+b/24 = 7 a/24 = 1 lub a/24 = 2 lub a/24 = 3 (24, 144), (48, 120), (72, 96) 3. ab = 6174 NWD(a, b) = 21 (a/21)(b/21) = 14 a/21 = 1 lub a/21 = 2 (21, 294), (42, 147) 4. NWD(a, b) = 24 = 2³*3 NWW(a, b) = 2496 = 2⁶*3*13 (24, 2496), (48, 1248), (96, 624), (192, 312), 5. a<2000 24|(a−120), 46|(a−92) 24|a, 46|a NWW(24, 46)|a 552|a a = 0 lub a = 552 lub a = 1104 lub a = 1656 6. a<1000 10|(a−9), 15|(a−14), 21|(a−20) 10, 15, 21|(a+1) NWW(10, 15, 21)|(a+1) 210|(a+1) a = 209 lub a = 419 lub a = 629 lub a = 839 7. NWD(n, n²+4) = NWD(n, 4) = 4 lub 2 lub 1 jeśli 4|n, to 4 jeśli nie 4|n, ale 2|n, to 2 w przeciwnym wypadku 1 8. NWD(n³+2, n−1) = NWD(n²+2, n−1) = NWD(n+2, n−1) = NWD(3, n−1) = 3 lub 1 jeśli 3|(n−1), to 3 w przeciwnym wypadku 1 9. NWD(a, b, c) = 1 b² = bc ⇒ b = c ⇒ b = c = 1 a+2b+c = a+3 źle przepisane 10. jeśli d|a i d|b, to d|a i d|(b−a) odwrotnie jeśli d|a i d|(b−a), to d|a i d|b skąd NWD(a, b) = NWD(a, b−a) 11. a) nie, przykład: a=1, b=2, c=4 b) nie, przykład: a=5, b=2, c=3 c) tak, jeśli p jest pierwsze, i p|a oraz p|bc, to p|b lub p|c, skąd p = 1 więc NWD(a, bc) = 1 12. a) NWD(a, b) = NWD(a−2, b−2) + 2 a = b = 4 b) NWD(a, b) = NWD(a+2, b+2) − 2 a = b = 2 c) a=0, b=1 13. a) x, x+1, x+2 NWD(x, x+1) = 1, NWD(x+1, x+2) = 1 nie istnieją b) NWW(x, x+1) = x²+x, NWW(x+1, x+2) = x²+3x+2 x²+3x+2 − (x²+x) = 2x+2 musi być x=0, ale wtedy NWW(x, x+2) = 0 nie istnieją 14. 500≤a≤1000 18|(a−9) 20|(a−9) 24|(a−9) NWW(18, 20, 24)|(a−9) 360|(a−9) a = 729 15. NWD(a, b) = 15 = 3*5 NWW(a, b) = 315 = 3²*5*7 a = 15 lub a = 45 (15, 315), (45, 105) 16. a+b = 750 = 2*3*5³ NWD(a, b)|(NWW(a, b)−1196) ⇔ NWD(a, b)|1196 a = 2, b = 748 17. n<1000 2|(n−1), 3|(n−2), 4|(n−3), ..., 8|(n−7) 2|(n+1), 3|(n+1), ..., 8|(n+1) NWW(2, 3, ..., 8)|(n+1) 840|(n+1) n = 839 18. 1,9884*10³⁰ kg

Tadeusz$oplica: @Eta przekopiowane ręcznie z kartki z lekcji